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Aufgabe:

Finden Sie alle lokalen Extrema in der Funktion h : R2R,h(x,y)=xk+(x+y)2 h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, h(x,y) = x^k + (x+y)^2 mit k=1,2 k=1,2 .

Problem:

Ich weiß leider nicht, wie man mit den beiden unterschiedlichen Fällen umgeht.

Vielen Dank! :)

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Aloha :)

gradh(x,y)=(kxk1+2(x+y)2(x+y));k=1;2\operatorname{grad} h(x,y)=\binom{kx^{k-1}+2(x+y)}{2(x+y)}\quad;\quad k=1;2Bei den Extermstellen muss der Gradient verschwinden, also:0=!2(x+y)=2x+2yy=x0\stackrel{!}{=}2(x+y)=2x+2y\quad\Rightarrow\quad \underline{y=-x}0=!kxk1+2(x+y)=(y=x)kxk1k0xk1=00\stackrel{!}{=}kx^{k-1}+2(x+y)\stackrel{(y=-x)}{=}kx^{k-1}\quad\stackrel{k\ne0}{\Rightarrow}\quad \underline{x^{k-1}=0}Beide Bedinungen müssen erfüllt sein.

1. Fall k=1k=1:0=xk1=x0=1Widerspruch0=x^{k-1}=x^0=1\quad\text{Widerspruch}Für den Fall k=1k=1 gibt es also kein Extremum.

2. Fall k=2k=2:0=x21=x;y=xkritischer Punkt (00)0=x^{2-1}=x\quad;\quad y=-x\quad\Rightarrow\quad\text{kritischer Punkt }(0|0)Für diesen Fall tauchen im Funktionsterm nur Quadrate auf, sodass h(x,y)=x2+(x+y)20h(x,y)=x^2+(x+y)^2\ge0An der kritischen Stelle gilt h(0,0)=0h(0,0)=0. Damit ist klar, dass bei (00)(0|0) ein lokales Minimum vorliegt.

Avatar von 152 k 🚀
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Naja, du untersuchst zum einen h1(x,y)=x+(x+y)2h_1(x,y)=x+(x+y)^2 und zum anderen h2(x,y)=x2+(x+y)2h_2(x,y)=x^2+(x+y)^2. Dann wählst du von den Extrema der beiden Funktionen jeweils den größten/kleinsten Wert.

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