Lokale Extrema mehrdimensional ist das richtig?

Question

Aufgabe:

(A) Gegeben sei die folgende Funktion:
$$ f: \mathbb R^{2} \to \mathbb R, \quad (x, y) \to x^{2}(2-y)+y^{2} $$
Bestimmen Sie alle Punkte \( (x, y) \) mit grad \( f(x, y)=(0,0)\), Entscheiden Sie jeweils, ob an den berechneten Punkten ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder ein Sattelpunkt der Funktion vorliegt.

Problem/Ansatz:

Ich habe als Stat. Punkt (2,2) und (-2,2)

Durch einsetzen in die Hf kriege ich bei beiden keine Lösung da eins davon = 0 ist bzw: Eingesetzt (2,) ergibt oben links 0 was dazu führt dass die Hesse Matrix keine lösung hat und bei der 2. also (-2,2) erhalte ich bei 2x2 ebenfalls=0.

Ich bin mir nicht sicher ob ich überhaupt richtig gerechnet habe. Es wäre echt lieb wenn das einer Korrigieren könnte und mir helfen könnte falls richtig was mein nächster schritt sein muss

Answer 1

\(\partial _1 f(x,y)=-2x(y-2)=0\)  (1)

\(\partial _2 f(x,y)=2y-x^2=0\)    (2)

Aus (1) folgt, dass \(x=0\) oder \(y=2\).

Setzt man x=0 in (2) ein, so folgt:

2y-0^2=0 => y=0

Setzt man y=2 in (2) ein, so folgt:

4-x^2=0 => x=±2 und mit y=x^2/2 folgt y=2 für beide x.

Insgesamt hast du (0,0), und (-2,2), (2,2) als kritische Punkte.

Es gilt \(H_f(x,y)=\begin{pmatrix} 2(2-y) & -2x \\ -2x & 2 \end{pmatrix}\) und damit

\(H_f(0,0)=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\0 & 2 \end{pmatrix}\), \(H_f(-2,2)=\begin{pmatrix} 0 & 4 \\4 & 2 \end{pmatrix}\), \(H_f(2,2)=\begin{pmatrix} 0 & -4 \\-4 & 2 \end{pmatrix}\). Was kannst du über die Definitheit dieser Matrizen sagen?

Comments

Danke für die Antwort. 3 Stationäre Punkte? Ich bin nur auf 2 gekommen.

Zu meiner Rechnung: Ich habe erst die Partiellen Ableitungen gebildet und das(y-2) auch ausgeklammert.So kam ich auf:

4x-2xy=0 (1)

2y-x^2=0 (2)

Nun habe ich (1) umgeformt nach y und kam auf y=2. y=2 habe ich in (2) eingesetzt und bekam für x= +-2. Somit hätte ich die Stat Punkte für: (2,2) und (-2,2) auf die (0,0) würde ich echt nicht kommen...

Genau die Selben Werte für (2,2) und (-2,2) habe ich auch für die Hf, jedoch weiß ich nicht was ich darüber sagen kann da oben links eine 0 ist. Kannst du mir da weiterhelfen sowie bei den Stat Punkten?

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4x-2xy=0

-2x(y-2)=0

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. (Satz vom Nullprodukt)

Also muss entweder -2x=0 oder y-2=0. Damit kriegst du x=0 und y=2.

det (H_f(0,0))= 8>0 und spur(Hf(0,0))=8>0 =>  Hf(0,0) positiv definit => (0,0) striktes lokales Minimum

det(Hf(2,2))=-16<0 => Hf(2,2) indefinit => (2,2) Sattelpunkt

det(Hf(-2,2))=-16<0 => Hf(-2,2) indefinit => (-2,2) Sattelpunkt

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Hallo

 1.wenn du x*(4-2y)=0 rechnest sollte dir auffallen dass x=0 eine Lösung ist, in 2y-x^2 eingesetzt kommt y =0 raus. (du hast in 1 einfach durch x dividiert, dann sollte man IMMER dazu sagen für x≠0!

2. was hindert dich die 0 links oben daran die Determinante auszurechnen? Ausserdem sieht man direkt für x,y>0 in der Nähe von (0,0) ist f(x,y)>f(0.0) also ist bei 0,0 ein Min.

bei 2,2 kann man sehen, dass die funktion fällt in Richtung x=y. wächst in Richtung y=-x

usw. ausserdem kann man sich ja die Fkt. mal platten lassen um seine Ergebnisse zu kontrollieren z. B mit geogebra 3d

lul

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racine_carrée hat das schon prima gemacht.

Ich steuer noch eine Skizze bei.

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Danke für die Antwort. Klar ohne es auszuklammern sieht man ja direkt dass x=0 ist, aber ich mag solche klammer funktionen gar nicht und morgen steht schon die prüfung an :/. Kann man ausgeklammert auch auf (0,0) kommen?

Habe ich es richtig verstanden dass du für die Hf die determinante ausgerechnet hast und so ermittelt hast ?

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Für symmetrische 2x2-Matrizen gilt:

1. \( A \) ist positiv definit genau dann, wenn \( \operatorname{det}(A)>0 \) und \( \operatorname{spur}(A)>0 \)
2. \( A \) ist negativ definit genau dann, wenn \( \operatorname{det}(A)>0 \) und \( \operatorname{spur}(A)<0 \)
3. \( A \) ist indefinit genau dann, wenn \( \operatorname{det}(A)<0 . \)

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Hallo

Produkt =0 folgt Faktor =0 ist am einfachsten. aber bevor man durch eine  Größe dividiert was man mit 0 nicht darf, muss man eben nachsehen, was mit =0 ist und bei 4x-2xy sieht man dann eben, dass es für x=0 0 ist. Trotzdem ist ausmult. oft der schlechteste Weg.

besseres Bild als Wolfram_

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Danke für die Antwort. Klar ohne es auszuklammern sieht man ja direkt dass x=0 ist, aber ich mag solche klammer funktionen gar nicht und morgen steht schon die prüfung an :/. Kann man ausgeklammert auch auf (0,0) kommen?

Ausgeklammert ist es wenn der Term eine Klammer enthält. Ausmultipliziert ist es wenn keine Klammer mehr vorhanden ist.

4x - 2xy = 0

Schon bei quadratischen Termen der Form

ax^2 + bx = 0

solltest du verinnerlicht haben dass man am besten ein x ausklammert. also

x(ax + b) = 0

und jetzt den Satz vom Nullprodukt anwendet.

Gleiches gilt auch für deinen Term

4x - 2xy = 0
x(4 - 2y) = 0

Enthalten alle Summanden den Faktor x dann sollte das x zunächst ausgeklammert werden, weil man damit direkt eine Lösung hat.

Das Ausklammern ersetzt hier die Polynomdivision durch x.

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besseres Bild als Wolfram_

Geschmackssache. Wo erkennst du in deinem Bild den Sattelpunkt an der Stelle (2, 2) und an der Stelle (-2, 2).

Die kann man bei Wolfram in der Draufsicht anhand der Niveaulinien z.B. recht gut erkennen.