Aufgabe zu symmetrischen Matrizen

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe:

Es sei Sym_n(ℝ)={M∈ℝ^nxn: M^t=M} der Vektorraum der symmetrischen reellen nxn-Matrizen für n>0. Für eine feste Matrix S∈ℝ^nxn betrachten wir die Abbildung φ_s: Sym_n(ℝ)→ℝ^nxn , φ_s(M) = S^tMS.

Zeigen Sie folgende Aussagen:
1) φ_s ist linear

2) Bild(φ_s) ⊆ Sym_n(ℝ)

3) Die lineare Abbildung φ_s: Sym_n(ℝ)→Sym_n(ℝ) ist genau dann invertierbar, wenn S invertierbar ist.

4) Sei nun \( \begin{pmatrix} α & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) . Für welches α ist die Abbildung Bijektiv?

Ansatz

1)  Additiv: S^t(M₁+M₂)S = S^tM₁S + S^tM₂S

    Multiplikativ: S^t( a*M) S= a* S^tMS

   Ist das wirklich so einfach, oder darf ich das so nicht machen?

2)  Hier habe ich gedacht , dass ich zeigen muss, dass S^tMS wieder eine symmetrische Matrix ist, oder?

  Also: (S^tMS)^t = S^t(S^tM)^t = S^t M^t (S^t)^t= S^tMS Geht das so?

3) Hier bin ich ziemlich Ratlos. Eine Matrix ist ja invertierbar wenn A^-1A= E gilt. Also dachte ich erst, dass ich es         vielleicht so machen kann: (S^tMS)^-1 (S^tMS) =E und das dann auflösen. Aber dafür müsste ich ja wissen, dass M invertierbar ist und das kann ich ja nicht einfach so annehmen. :(

4) Hier weiß ich auch nicht weiter. Normalerweise hätte ich den Rang einer Matrix bestimmt und mit der Dimension der Zielmenge verglichen und wenn dass übereingestimmt hätte wäre es surjektiv und wenn der Kern die Dimension Null hat Injektiv und damit Bijektiv. Hier habe ich aber das Problem, dass wenn ich die Matrixmultiplikation ausführe ich auf einen sehr großen Term komme, da mein M ja unbestimmt ist und das auf Zeilenstufenform zu bringen, um den Rang abzulesen, ist mehr als ein bisschen schwierig. Gibt es hier vielleicht einen Trick den ich nicht kenne?

Würde mich sehr freuen, wenn sich das jemand mal anschauen könnte. :)

Answer 1

Zu 1 könntest du natürlich noch kleinschrittiger vorgehen,

etwa so: S^t(M₁+M₂)S   =  (S^tM₁+S^tM₂)S = StM1S + StM2S

und dem Hinweis: Distributivität der Mat.mult.

2. ist OK.

3. wenn S invertierbar ist, kann man jedenfalls zu

jedem N ein M bestimmen mit φ_s(M) = N

Denn S^t ist dann ja auch invertierbar und es gilt

             S^t(M)S = N

<=>   MS = (S^t)^(-1) * N

<=>    M = (St)^(-1) * N * S^(-1) .

andere Richtung wäre: Wenn es zu jedem N genau ein M

gibt mit φ_s(M) = N dann müsste man daraus schließen, dass

S invertierbar ist.

4. Soll das die Matrix S sein?

Comments

Erstmal danke für deine Antwort. :)

Bei der Aufgabe 3) verstehe ich aber leider nicht warum mir das die invertierbarkeit von (S^tMS) gibt. :(

4) Ja tut mir leid, damit war die Matrix S gemeint.