Wieso wird hier eine vermeintliche Cauchy Folge verwendet?

Question

Hallo, ich weiß schon, dass der Raum nicht vollständig ist aber ich verstehe nicht, warum die Folge an der ich das zeigen soll eine Cauchy Folge sein soll. Ich meine x_n=n konvergiert doch nicht!! Habe ich hier irgendeinen Denkfehler?

$$ d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto d(x, y):=|\arctan x-\arctan y| $$
Untersuchen Sie (z.B. anhand der Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \operatorname{mit} x_{n}=n \) ), ob \( (\mathbb{R}, d) \) mit der oben
definierten Metrik \( d \) vollständig ist. Formulieren Sie eine Behauptung und begründen Sie
diese.

LG

Answer 1

in diesem Fall konvergiert deine Reihe x_n = n schon, aufgrund der hier definierten Metrik.

Schau dir dafür mal den graphen des arctangens an.

LG

Comments

Achsooo ich verstehe, dann hätte ich die Behauptung also gezeigt, indem ich zeige, dass xn divergiert aber mit der hier defirnierten Metrik nicht oder?