Der Winkel zwischen zwei Geraden Formelherleitung für den Schnitteinkel

Question

Aufgabe:

Den Schnittwinkel von zwei Geraden wird mit dieser Formel berechnet:

cos(gamma)=(|Vektor m1×Vektor m2|)÷(|Vektor m1|×|Vektor m2|). M1 und m2 sind Richtungsvektoren von Geraden.

Problem/Ansatz:

Die Kosinusformel lautet:

cos(gamma)=(Vektor a×Vektor b)÷(|Vektor a|×|Vektor b|)

Wieso berechnet man den Schnittwinkel von zwei Geraden mit dem Betrag von m1×m2? In der Kosinusformel berechnet man ja auch den Winkel zwischen zwei Vektoren ohne den Betrag. Wenn man die Formel für zwei Geraden benutzt (mit Betrag) ist das Ergebnis nur der stumpfe Winkel der Geraden. Der Schnittwinkel berechnet sich dann mit 180°- den stumpfen Winkel. Warum kommt man nur mit dem Betrag im Zähler auf den Schnittwinkel?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

cos(gamma)=(|Vektor m1×Vektor m2|)÷(|Vektor m1|×|Vektor m2|)

cos(∠(m₁,m₂)) = (m₁·m₂) / (|m₁|·|m₂|)

Im Zähler steht das Skalarprodukt. Im Nenner werden Zahlen multipliziert.

Das Zeichen × ist in Verbindung mit Vektoren für das Kreuzprodukt reserviert.

Wieso berechnet man den Schnittwinkel von zwei Geraden mit dem Betrag von m1×m2?

Weil der Winkel zwischen 0° und 90° sein soll.

In der Kosinusformel berechnet man ja auch den Winkel zwischen zwei Vektoren ohne den Betrag.

Der Winkel kann auch über 90° sein, nämlich dann wenn der Kosinus negativ ist.

Wenn man die Formel für zwei Geraden benutzt (mit Betrag) ist das Ergebnis nur der stumpfe Winkel der Geraden.

Es ist der spitze oder der rechte Winkel, nicht der stumpfe.

Warum kommt man nur mit dem Betrag im Zähler auf den Schnittwinkel?

Kommt man nicht. Man kann auch die andere Formel verwenden und bei Bedarf von 180° abziehen.

Answer 2

Der Schnittwinkel zweier Geraden ist als der kleinere der beiden Winkel, also maximal 90°, definiert. Der Cosinus ist dann nicht negativ.

Wenn die Richtungsvektoren einen stumpfen Winkel einschließen, muss daher der Betrag des Cosinus gebildet werden. Bei einem spitzen Winkel ändert sich durch den Betrag nichts.

$$ \cos\alpha=-\cos(180^\circ-\alpha) $$