Seien V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨ ,., ⟩ und U,W ⊆ V Untervektorräume. Zeigen Sie:

Question

Aufgabe: Orthogonales Komplement

Seien V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨ ,., ⟩ und U,W ⊆ V Untervektorräume. Zeigen Sie:

a) U^⊥⊥ = U

b) (U + W) ^⊥ = U^⊥ ∩ W^⊥ 

c) (U ∩ W)^⊥ = U^⊥  + W^⊥

Problem/Ansatz:

Prinzipell ist mir klar warum die Aussagen stimmen, ich weiß nur nicht wie ich sie mathematisch beweisen soll.

Comments

Prinzipell ist mir klar warum die Aussagen stimmen, ich weiß nur nicht wie ich sie mathematisch beweisen soll.

Möchtest du noch erklären, was der Fachbegriff für das "gestürzte" T ist?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Komplement%C3%A4rraum#Orthogonales_Komplement

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Danke. Warum weiss Rainerzufall das nicht selbst und setzt entsprechende Tags oder eine solche Überschrift? Ich habe nun Tags ergänzt.

Answer 1

Die a) zeigt man mit einer Doppelten Inklusion.

Also sei x ∈ U ==> <x ,u>=0 für jedes u ∈ U⊥

Daraus folgt nach Definition, dass x ∈(U⊥)⊥, da x zu jedem Element aus U⊥ orthogonal steht.

Andere Richtung: Sei x ∈(U⊥)⊥ dann gilt <x ,u>=0 für jedes u ∈ U⊥ und damit ist x ∈ U nach Definition.

Bei der b) und c) weiß ich nicht genau was du mit deinem "+" meinst, da das Plus kein Mengenoperator ist. Ich gehe jetzt mal davon aus dass du die Vereinigung meinst. ;)

Also für die b) würde ich erneut eine Doppelte Inklusion machen.

Sei x ∈ U⊥ ∩ W⊥, d.h. ist x ∈ U⊥ und x ∈ W⊥, d.h. x ist zu jedem Element aus U und W orthogonal. Dh ist x im Orthogonalem Komplement von U ∪ W.

Rückrichtung: Sei x ∈ (U ∩ W) ⊥ d.h. ist x zu jedem Element aus U und W orthogonal, d.h. ist x im orthogonalen Komplement von U und in dem von W und damit auch im Schnitt der beiden.

Die c) geht sehr analog, ich empfehle dir den Beweis selber mal zu probieren.

(Ich werde eine mögliche Lösung später unter dieser Antwort als Kommentar verfassen. :))

Ich hoff ich konnte dir helfen.

VG Simon