Nicht stetige Stellen in einem Intervall einer monoton wachsenden Funktion

Question

Aufgabe:

$$\text{ Es sei I ein Intervall, f: I }\to\mathbb{R}\text{ eine monoton wachsende Funktion }$$

$$\text{ und M die Menge der Stellen in I, an denen f nicht stetig ist. }$$

$$\text{ Zeigen Sie, dass }|M|\leq|\mathbb{N}|\text{ ist. Hinweis: Monotoniekriterium}$$

Problem:

Für Tipps zum lösen der Aufgabe wäre ich sehr dankbar. :)

Answer 1

Sei U die Menge der Unstetigkeitsstellen.

Sei x₀ ∈ U dann gilt:

limes x ggn x_0- f(x) < limes x ggn x₀₊ f(x)

Das hier kleiner gleich gilt ist klar wegen der Monotonie, da f in x₀ aber nicht stetig ist gilt echt kleiner da f in xo sonst stetig wäre.

Da wir nun zwei Grenzwerte haben die unterschiedlich sind, finden wir aufgrund der Dichtheit von Q in R eine Zahl dazwischen diese nennen wir y.

Konstruiere nun eine Funktion g: U —> g(U)⊆Q die jeder Unstetigkeitsstelle so einen y Wert mit der oben genannten Eigenschaft zuweist. Diese Funktion g ist nach Konstruktion injektiv, da Q abzählbar ist und #g(U) = #U und g(U) eine Teilmenge von Q ist, ist U aich abzählbar. qed.

Hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

VG Simon

Comments

Wenn das hier noch gerettet weden soll, musst du mindestens folgende Fragen beantworten :

- Wieso sollte  limes x ggn x_{0-} f(x) existieren ?

- Woraus schließt du, dass   Diese Funktion g ist mach Konstruktion injektiv   gilt ?

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Da dir das wohl ein bisschen zu kompliziert war, erkläre ich es dir gerne. :)

Die Grenzwerte existieren da wir hier eine reellwertige, monotone Funktion haben.

Du hast recht sie müssten nicht existieren falls x₀ gleich der Intervallgrenzen sind wenn I abgeschlossen bzw. halboffen ist, aber das hat ja überhaupt keinen Einfluss auf die Gültigkeit vom Beweis, da man in diesem Fall trotzdem diesen Punkt y findet sodass gilt:

x₀ < y ≤ \( \lim\limits_{x \to xo+} \) f(x)  oder

\( \lim\limits_{x \to xo-} \)  f(x) ≤ y < x₀  .

Zu deiner zweiten Frage " wieso g Injektiv ist":

Das kommt daher, da f monoton ist und aus der Konstruktion von g.

Hilfreich könnte es sein hier die Intervallschachtelung im Kopf zu haben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung