In welchem Flächenverhältnis stehen die Achtecke ABCDEFGH und STUVWXYZ?

Question

Auf einem Kreis werden die Punkte A, B, C, D, E, F, G und H äquidistant und in dieser Reihenfolge angeordnet. Der Polygonzug ADGBEHCFA schließt ein regelmäßiges Achteck STUVWXYZ ein (siehe Abbildung). In welchem Flächenverhältnis stehen die Achtecke ABCDEFGH und STUVWXYZ?

Comments

Das Flächenverhältnis ähnlicher Figuren verhält sich wie das Quadrat des Längenverhältnisses der Figuren. Das große und das kleine Achteck sind offensichtlich ähnlich, und was ist das Verhältnis von AB zu ST? Das kannst du auf verschiedene Weisen herausfinden, einmal mittels des Rechtecks der Seite AB mit einer Verlängerung von ST auf beiden Seiten und etwas Winkelspielerei, oder über den Strahlensatz, da die Strahlen AS und BT sich im Mittelpunkt des Kreises schneiden.

Answer 1

Kleiner Tipp:

http://www.mathematische-basteleien.de/achteck.htm#Achtecke%20im%20Achteck

und ja. Ich weiß, dass auf der Seite nicht direkt die Lösung steht.

Answer 2

ABCDEFGH / STUVWXYZ

= AB^2 /ST^2

AB = ST (1+ \( \sqrt{2} \))]

AB^2 = ST ^2 * (1+ \( \sqrt{2} \))])^2

AB^2 ≈ ST ^2 * 5,828

ABCDEFGH ≈ STUVWXYZ *5,828