Integral Lösung gegeben, falscher Ansatz?

Question

Aufgabe:

Wie kommt man von \( =2 \pi \int \limits_{0}^{h} r \frac{h-z}{h} \sqrt{1+\frac{r^{2}}{h^{2}}} d z \) auf

\( =2 \pi \int \limits_{0}^{h} r\left(-\frac{(h-z)^{2}}{2 h}\right) \sqrt{1+\frac{r^{2}}{h^{2}}} \) ?

Ich weiß, dass bis auf h-z/h alle anderen Variablen Konstanten sind.

Beim integrieren von h-z/h komme ich aber nicht auf -(h-z)^2/h

Mein Ansatz : Integral h-z/h dz = Int 1 + Int z/h = z+ z^2/2h

Answer 1

Vielleicht fällt es dir einfacher wenn ich es mal über die Substitution mache. Obwohl man das bei solch einfachen Funktionen eigentlich nicht substituiert sondern gleich integriert.

∫ (h - z)/h dz

Subst
a = h - z
1 da = -1 dz → dz = - da

∫ a/h (- da)

∫ - a/h da

- a^2/(2·h) + C

Resubst.

- (h - z)^2/(2·h) + C

Siehst du das jetzt so besser?

Natürlich ginge es auch auf deinem Weg.

Wichtig ist vielleicht zu erwähnen, das du die Integrationskonstante anpassen kannst um wieder ein schönes binom zu erhalten. Wenn du es nicht machst ist die Stammfunktion aber nicht verkehrt. Es gibt ja unendlich viele Stammfunktionen, die sich alle nur im Wert der Integrationskonstante unterscheiden.