Berechnung der Oberfläche eines Torus

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie \( \frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} K \sqrt{g} d u d v \) für den
Torus, der durch die Abbildung \( \vec{r}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit
$$ \vec{r}(u, v)=\left(\begin{array}{c} (a+b \cos (u)) \cos (v) \\ (a+b \cos (u)) \sin (v) \\ b \sin (u) \end{array}\right) $$
parametrisiert wird.

b ist dabei der Radius des Querschnittes des Torus, a ist der Radius, des Kreises, der sich durch Rotation des Mittelpunktes des Querschnitts um die z Achse, ergibt.

Problem/Ansatz:

Ich bekomme 0 heraus und das ergibt ja irgendwie absolut keinen Sinn.

Comments

Was ist K?

Gruß

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Ich füge hier einfach mal meine Rechnung ein. Die Definition von\(\sqrt{g}K \) ist so im Skript gegeben.

\( f(u)=a+b \cos (u) \)

\( f^{\prime}(u)=-b \sin (u) \)
\( f^{\prime 2}(u)=b^{2} \sin ^{2}(u) \)
\( h(u)=b \sin (u) \)
\( h^{\prime}(u)=b \cos (u) \)
\( h^{\prime 2}(w)=b^{2} \cos ^{2}(u) \)

\( \frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} K \sqrt{g} d u d v \)
\( \sqrt{g} K=-\frac{d}{d u}\left(\frac{f^{\prime}}{\sqrt{f^{\prime 2}+h^{\prime 2}}}\right) \)
\( =-\frac{d}{d u}\left(\frac{-b \sin (u)}{\sqrt{b^{2} \sin ^{2}(u)+b^{2} \cos ^{2}(u)}}\right) \)
\( =-\frac{d}{d u}\left(\frac{-b \sin (u)}{\sqrt{b^{2}\left(\sin ^{2}(u)+\cos ^{2}(u)\right.})}\right. \)
\( =-\frac{d}{d u}\left(\frac{-b \sin (u)}{\sqrt{b^{2}} \cdot 1^{1}}\right) \)
\( =\frac{-d}{d u}\left(\frac{-b \sin (u)}{b}\right) \)
\( =-\frac{d}{d u}(-\sin (u)) \)
\( =-(-\cos (u)) \)
\( =\cos (u) \)

\( \frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} K \sqrt{g} d u d v=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos (u) d u d v=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi}[\sin (u)]_{0}^{2 \pi} d v=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} 0 \)
\( =\frac{1}{2 \pi} \cdot 0=0 \)

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Hallo,

diese Formel kenne ich nicht. Aber mir kommt merkwürdig vor, dass die Variable K keine Rolle spielt. Vor allem aber müsste \(\sqrt{g}\) nichtnegativ sein. Das ist bei Dir nicht der Fall?

Gruß

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Hallo

irgendwie musst du dein Skript falsch interpretiert haben, was du da mit f(u) und h(u) bezeichnet macht nicht viel Sinn. denn es ist ja nur f(u,v) definiert und kein f(u) und damit auch nicht wie angeblich √g definiert ist. normalerweise steht da der Betrag des Kreuzprodukts der Tangentialvektoren? Vielleicht schreibst du mal wirklich auf was ihr definiert habt. oder siehst in wiki unter Oberfläche nach.

lul

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Was ist K?

Das ist die Gauß-Krümmung.

diese Formel kenne ich nicht. Aber mir kommt merkwürdig vor, dass die Variable K keine Rolle spielt. Vor allem aber müsste g√ nichtnegativ sein. Das ist bei Dir nicht der Fall?

TJ06 hat das Produkt K * sqrt(g) berechnet.

K kann negativ sein.

Ich hab aber vergessen, für was g bzw. sqrt(g) stehen soll. Ansonsten könnte man das Ergebnis ja geometrisch interpretieren, ich denke schon das 0 rauskommt.

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Dann soll wohl nicht die Oberfläche berechnet werden, sondern die TotalKrümmung?