Konvergenz von Summe n->inf (sqrt(n^3+1)-sqrt(n^3-1))

Question

Aufgabe:

Untersuche folgende Reihe auf Konvergenz

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1}$$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, dass ich die Konvergenz mit dem Vergleichskriterium untersuche.

$$\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1}= \frac{2}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}=\frac{1}{n^2}*\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^3}}}$$

und dann mit $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ vergleiche.

Damit ich das machen kann muss ich beweisen,dass $$\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^3}}} \leq 1$$. Nur so recht will mir das nicht gelingen.

Hat jemand vieleicht ein Tipp für mich, wie ich das Problem angehen soll?

Answer 1

Wie wäre es mit:

$$ \frac{2}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}$$

$$< \frac{2}{2*\sqrt{n^3+1}} <\frac{1}{\sqrt{2*n^3}} =\frac{1}{\sqrt{2}*n^{3/2}}$$

Comments

Offenbar hast du den Nenner vergrößert. Dadurch wird der Quotient aber kleiner und das erste "\(\lt\)" gilt nicht.

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Ach ja, da hätte man es wohl mit dem n^3 - 1 machen müssen.

Dann wird der Nenner kleiner und der Quotient größer.