Koeffizientenberechnung in Polynomen verstehen

Question

Hallo,

Ich habe zum Beispiel ein Polynom

P(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³

und zum Beispiel diese Werte

P(x) | 2 | 4 | 8 | 16 |100

     x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

Also die Werte sind grad einfach frei "erfunden" , geht mir nur ums Verständnis.

Ich möchte die Koeffizienten a₀ bis a₃ berechnen.

Meine Idee war dann mit dem Gauß Verfahren die Lösung zu berechnen

sieht dann die Matrix wie folgt aus ?

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & |2 \\ 1 & 2 & 4 & 8 &| 4 \\ usw. \end{pmatrix} \)

Also die x Werte einsetzen.

ich habe am Ende dann eine 5x4 Matrix (5Reihen , 4Spalten ) Und ich müsste doch dann ein Dreieck aus Nullen "bauen"

Nur wie geht das bei einer Matrix, die mehr Reihen als Spalten hat ? Also mir gehts darum, wenn ich super viele Werte Paare habe, wie ich das dann berechne. zb 100 P(x) und x Werte. Dann habe ich 100 Gleichungen ?

Oder benutz ich ein anderes Verfahren dafür ?

Ist ein Polynom ein nicht lineares Gleichungssystem ?

Zu meinem Problem, ich habe ganz viele Werte aufgetragen in einem Diagramm und möchte dadurch eine Trendlinie fitten. Das geht in Excel theoretisch automatisch und das Polynom kann man sich auch anziegen lassen. Nur das will ich verstehen wie das passiert.
Daher habe ich versuchst mit einem kleinen Beispiel 5 Wertepaare und einem Polynom 3 Grades das per Hand zu rechnen, jedoch mach ich irgendwas falsch und such den richtigen Lösungsweg.

Comments

2^3 ist 8, nicht 16.

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ich habe am Ende dann eine 4x5 Matrix (5Reihen , 4Spalten )

Du hast eine 5x4-Matrix als Koeffizientenmatrix. Sie hat 5 Zeilen und 4 Spalten. Dazu kommt noch die Wertespalte, sodass insgesamt eine 5x5-Matrix vorliegt.

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Danke für den Kommentar, da hab ich wohl die Dimensionen vertauscht.

Jedoch bringt mir die Aussage nichts für mein Problem, es geht ja darum, dass es zb auch ene 100x4 Matrix sein kann. Bzw. oder ob ich mit dem gGußverfahren überhaupt richtigen Weg gehe.

Answer 1

Du scheinst da was zu verwechseln.

Eine Regression (Trend) ist was anderes als eine Kurve durch feste Punkte zu legen. Im ersten Fall trifft die Kurve nicht unbedingt die Stützstellen - es wird der Abstand der Kurve zu den Punkten minimiert. Man hat weniger, meist mehr Punkte als Koeffizienten in der Funktionsgleichung.

https://www.geogebra.org/m/ku9JMAPU

Im zweiten Fall werden die Koeffizienten der Parabel so bestimmt, das die Kurve exakt durch die Punkte geht

https://www.geogebra.org/m/JNFSngSP

Man benötigt genausoviele Punkte, wie Koeffizienten in der allgemeinen Funktionsgleichung auftreten.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Ja ich habe nach einer Regression gesucht - super !

Eine Frage hätte ich noch.

Ich habe mal gesehen, dass nur gerade oder ungerade Expontenten genutzt werden.

Ist das dann die selbe Berechnung der Koeffizienten, nur das man am Ende zb bei einer ungeraden Dartsellung die geraden Exponenten weg lässt oder, muss das bei der Berechnung der Koeffizienten berücksichtigt werden ?

Also wenn man z.B. sollch ein Polynom bestimmten will.

P(x) = a₀ + a₁ x² + a₂ x⁴ ...

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Du meinst bei einer Regression?

Die Wahl der Funktion richtet sich im Allgemeinen nach den physikalischen (realen) Gegebenheiten. Grundsätzlich kann man das Verfahren auf „beliebige“ (zu den Stützstellen passende) Funktionen anwenden.

Ich hab mal eine Regression zur Abschätzung des Gewichts von Rindern durch den Brustumfang gesehen....

https://mspielmann.de/matheseite/geometrie/rinderbrust/brust.htm

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irgendwie kann ich hier nur kommentieren und nicht eine eigenständige Antwort schreiben.

ich stelle Ax=B auf

x (Vektor) enthält die Koeffizienten

A ist eine Matrix mit der ersten Spalte "Normale Einträge" , zweite Spalte die EInträge hoch 2, nächste Spalte hoch 3 usw. je nachem bis zu welchem Grad.

B(Vektor) sind die Ergenisse des Polynoms.

Und dann löse ich auf. habe dafür mal Matlab gedownloadet und die Funktion "/" benutzt zum überprüfen der Ergebnisse.

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Du kannst eigene Fragen nicht beantworten nur kommentieren.

Deine Vorgehensweise sieht gut aus. Nur mußt Du von

A x = b

zur Normalengleichung, also mit der Transponierten A multiplizieren

A^T A x = A^T b

und diese lösen..

Steht alles in den Links aus meinem ersten Post. ich würde auch eher ein CAS zu Hilfe nehmen...

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Ich hab mal eine Regression zur Abschätzung des Gewichts von Rindern durch den Brustumfang gesehen....
https://mspielmann.de/matheseite/geometrie/rinderbrust/brust.htm

eine interessante Anwendung um aus dem Brustumfang \(U\) eines Rindes auf sein Gewicht \(G\) zu schließen.

Ich habe mir mal den Spaß gemacht, den ursprünglichen Ansatz von Dr. Strutz mit \(G \propto U^3\) nachzurechnen, also ohne die Logarithmierung, und komme zu folgendem Ergebnis:

Die orange farbenden Punkte sich die einzelnen Messwerte. Die blaue Funktion ist (\(U\) in \(\text{cm}\) und \(G\) in \(\text{kg}\))$$G(U) = 0,000260975\,U^3 - 0,082859\,U^2+12,109\, U - 576,9$$Der rote Graph zeigt die Näherung von Dr. Strutz. $$G(U) = 0,000102\cdot U^{2,94}$$Wie man sieht, weicht dieser bei den hohen Werten ab, was Sinn macht, da durch die Logarithmierung größere Werte nicht so stark gewichtet werden wie kleinere Werte.

Und selbst der einfache Ansatz \(G = k \cdot U^3\) liefert mit$$G(U) = 7,5658 \cdot 10^{-5} \, U^3$$noch eine Funktion, die fast deckungsgleich zwischen den beiden oben beschriebenen liegt, und folglich ohne weiteres brauchbar ist.

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Ja, daraus werden tatsächlich Maßbänder geschnitzt

https://kuh-und-oxn-schule.de/gewicht.html

war immer mein Standard Beispiel für die Anwendung, Funktionen—Auswahl einer Regression.

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Vielen Danke Leute, das hat mir sehr geholfen.

Ax=B

Ich habe jetzt die Koeffizenten so erhalten:

Ich habe die Matrix A wie in meinem alten Kommentar aufgestellt.
Das ich in die erste Spalte Daten eingetragen und hoch 0. DIe zweite Spalte selbe Werte nur hoch 1 , 2 Spalte dann hoch 2 usw.

(also jetzt Beipsiel - frei erfunden Werte , sodass man sich die Matrix Vorstellen kann.

a = 2 ; 2,5 ; 2,6  ..

A =\( \begin{pmatrix} 2^0 & 2^1 & 2^2 ... \\ 2,5^0 & 2,5^1 & 2,5^2 ... \\ 2,6^0 & ... \\ ... \end{pmatrix} \)

In B habe ich meine Messergebnisse und in x sind ja meine gesuchten Koeffizienten.

Das sollte dem Polynom

P(x) =c_{0 *}  a⁰ +  c₁ * a¹ + c₂ * a²  ... entsprechen oder? Sprich ich sollte so die Koeffizienten für dieses Polynom erhalten

Wenn ich nun aber

P(x) = 1 + c₁ * a¹ + c₂ * a² .... haben will. Dann muss ich ja irgendwie den ersten Koeffizienten zu 1 "erzwingen" oder?
Was muss man denn da beachten?

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Ich würde sagen, das Du die Konstante dem B zuschlagen kannst...

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Das ich dann einen Eintrag ersetze ? Weil wenn ich die hinzufüge, stimmen die Dimensionen ja nich mehr überein

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Wenn Du die Punkte (a_i,b_i) einsetzt

Ac=b

c_i a_i^1+... = b_i - 1

nimmst Du die 1 zum b-Vektor rüber