Beschreibende Matrix von Polynomen angeben?

Question

Text erkannt:

Gegeben sei der Vektorraum \( \operatorname{Pol}_{2}(\mathbb{R}) \) der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 mit der Basis \( P: p_{1}, p_{2}, p_{3} \), wobei \( p_{1}(x)=x^{2}+2, p_{2}(x)=-2 x, p_{3}(x)=2 \). Der Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) sei mit der Standardbasis \( E \) versehen. Weiter sei die lineare Abbildung \( \alpha: \operatorname{Pol}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch
\( p \mapsto\left(\begin{array}{c} -2 p(0) \\ p^{\prime}(0)-p(2) \\ p^{\prime \prime}(1)-3 p^{\prime}(3) \end{array}\right) . \)

Dabei bezeichnen \( p^{\prime} \) bzw. \( p^{\prime \prime} \) die erste bzw. die zweite Ableitung von \( p \).
Bestimmen Sie die beschreibende Matrix

Aufgabe:

Hallo, bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter. Wäre super, wenn mir jemand einen Ansatz zum Vorgehen geben könnte.

LG

Comments

Du setzt p1, p2, p3 in die Abbildung ein. Die Ergebnisse sind in diesem Fall bereits die Spalten der Matrix.

Answer 1

Du kannst jedes Polynom

        \(\sum_{i=0}^na_ix^i\in \operatorname{Pol}_n(K)\)

als Vektor

        \(\begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\in K^{n+1}\)

auffassen. Genauer gesagt sind die Vektorräume \(\operatorname{Pol}_n(K)\) und \(K^{n+1}\) isomorph zueinander.