Grenzwert von Produkten

Question

Aufgabe:

Berechne, anhand der Formel für die geometrische Reihe, den Wert des folgenden unendlichen Produkts:

∏_{n= -1} exp (\( \frac{exp(n+3)}{exp(2n+2)} \) ) 

Problem/Ansatz:

Ich hätte erst einmal versucht den Ausdruck in der Klammer zu vereinfachen, also (\( \frac{exp(n+3)}{exp(2n+2)} \) ) vereinfachen. Ich würde hier dann die Potenzgesetze anwenden und umschreiben in: exp(n+3-2n-2) = exp(1-n).

Also hätte man dann nur noch ∏_{n= -1} exp(exp(1-n)) stehen (unendliches Produkt), aber danach wüsste ich leider nicht, wie man es so umformen könnte, sodass man mit der geometrischen Reihe weiterarbeiten könnte.

Ich bedanke mich vielmals für eure Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

$$\prod\limits_{n=-1}^{\infty}\exp\left(\frac{e^{n+3}}{e^{2n+2}}\right)=\prod\limits_{n=-1}^{\infty}\exp\left(e^{n+3-2n-2}\right)=\prod\limits_{n=-1}^{\infty}\exp\left(e^{1-n}\right)=\exp\left(\sum\limits_{n=-1}^\infty e^{1-n}\right)$$$$=\exp\left(e^2+\sum\limits_{n=0}^\infty e^{1-n}\right)=\exp\left(e^2+e\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n\right)=\exp\left(e^2+e\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{e}}\right)$$$$=\exp\left(e^2+e\cdot\frac{e}{e-1}\right)=\exp\left(\frac{e^3-e^2}{e-1}+\frac{e^2}{e-1}\right)=\exp\left(\frac{e^3}{e-1}\right)$$

Answer 2

Wenn man von dem Produkt den nat. Log. bildet, gibt es eine Summe,

nach deiner Umformung ist das

$$\sum \limits_{n=-1}^{\infty} exp(1-n) =\sum \limits_{n=-1}^{\infty}\frac{1}{exp(n-1)} = e^2+ e +\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{exp(n)} = e^2+ e +\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{e})^n$$

Das letzte ist eine geometrische Reihe und wegen der Stetigkeit der

ln-Funktion hast du so den Logarithmus von deinem gesuchten

unendlichen Produkt.

Answer 3

Versuch es doch mal so:

$$\prod \limits_{n=-1}^{\infty}e^{e^{1-n}}= e^{\sum \limits_{n=-1}^{\infty}e^{1-n}}$$

denn

$$e^{e^{a}}\cdot e^{e^{b}}= e^{e^{a}+e^{b}} $$