Wie können Sie die Übergangsmatrix von B=(p0,…,pn) zu En=(1,x,x2,…,xn) bestimmen?

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathcal{B}=\left(p_{0}, \ldots, p_{n}\right) \) eine beliebige Basis des Vektorraums \( \mathbb{R}[x] \leq n, \) und sei \( \mathcal{E}^{n}=\left(1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right) \) die Standardbasis von \( \mathbb{R}[x]_{\leq n} \). Wie sieht die Übergangsmatrix \( P \) von \( \mathcal{B} \) zu \( \mathcal{E}^{n} \) aus? Wie können Sie die Übergangsmatrix von \( \mathcal{E}^{n} \) zu \( \mathcal{B} \) bestimmen?

Problem/Ansatz:

Ich muss doch hier folgendes berechnen:

(R[x] <=n, B) --> (R[x] <=n, E^n)  (Anmerkung: E^n = Monorphismus)

Ich muss hier doch eine Basistransformation durchführen.

Irgendwie hab ich keinen blassen Schimmer, wie ich anfangen, bzw. überhaupt rechnen soll...

Muss man hier die Transformationsmatrix anwenden?

Answer 1

Du schreibst die Koeffizienten der p_i als Spalten in eine Matrix.

Und für die umgekehrte Richtung benutzt du von dieser Matrix die Inverse.