Komplexe Gleichung, für welche z € C gilt die Gleichung

Question

Kann einer diese Aufgabe lösen?

(z² + 2i)² + 4 = 0

Answer 1

Aloha :)

$$\left.(z^2+2i)^2+4=0\quad\right|\quad-4$$$$\left.(z^2+2i)^2=-4=4i^2\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.z^2+2i=\pm2i\quad\right|\quad-2i$$$$\left.z^2=\pm2i-2i=\left\{\begin{array}{l}0\\-4i\end{array}\right.\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.z=\left\{\begin{array}{l}0\\\pm\sqrt{-4i}=\pm\sqrt{-4}\sqrt{i}=\pm\sqrt{4i^2}\sqrt{i}=\pm2i\sqrt{i}\end{array}\right.\quad\right.$$Es fehlt uns noch$$\sqrt{i}=\sqrt{e^{i\pi/2}}=e^{i\pi/4}=\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}=\frac{1+i}{\sqrt2}$$Damit gehen wir wieder in die Lösungen für \(z\):$$z=\left\{\begin{array}{l}0\\\pm2i\sqrt{i}=\pm2i\,\frac{1+i}{\sqrt2}=\pm\sqrt2(i+i^2)=\pm\sqrt2(i-1)=\mp\sqrt2(1-i)\end{array}\right.$$Die Gleichung hat also 3 verschiedene Lösungen:$$z_1=0\quad;\quad z_2=\sqrt2(1-i)\quad;\quad z_3=-\sqrt2(1-i)$$

Comments

wie kommt man von 2i ((1+i)/wurzel2) auf \( \sqrt{2} \)  (i + i^2)

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$$2i\,\frac{1+i}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}\,i\,(1+i)=\sqrt2\,i\,(1+i)=\sqrt2\,(i+i^2)$$

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danke ich habs jetzt etwas umständlicher gemacht

also

a * \( \frac{b}{c} \)  = \( \frac{a}{c} \) * b

bei dir jetzt

Answer 2

(z^2 + 2i)^2 + 4 = 0

<=> (z^2 + 2i)^2 = -4

<=> z^2 + 2i = 2i v  z^2 +2i = -2i

<=> z^2  = 0  v z^2 = -4i

<=>  z=0 v z = ±√(-4i)

<=>  z=0 v z = ±(√2 - i√2)

Comments

wie kommt man von wurzel -4 auf das untere ergebnis

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hat sich geklärt... sorry :D

Answer 3

Na, offensichtlich ist (z²+2i)²=-4 und demzufolge (z²+2i)=2i oder (z²+2i)=-2i.

Jetzt mach du mal selbst weiter.

Comments

Falsches Forum, Naivi.

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Du hast ja keine hohe Meinung von dem Forum, in dem du Moderator bist.

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Wieso selber rechnen, wenn es Rechenschieber gibt?