Bernoulli-Kette Wahrscheinlichkeit gesucht P(X1+X2+X3<2)?

Question

Sei (X1, X2, X3) eine Bernoulli-Kette mit Parameter p = 0.5 auf auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Wie groß ist P(X1 + X2 + X3 < 2)?

Als Ergebnis soll 0.5 rauskommen, was ich jedoch nicht nachvollziehen kann.

Kann mir das jemand bitte erklären?

3 Zufallsvariablen heißt ja 3 verschiedene Werte, die sich ergeben? X1=1 oder 2 z.B. oder?

Heißt das mit der Benoulli-Kette in diesem Zusammenhang nun 3 Variablen die verschiedene Werte annehmen können? Und dessen WS 0.5 ist?

Wie kommt man auf das Ergebnis? Intuitiv

Das kleiner 2 bedeutet ja, dass es insgesamt <2 ist, und laut Bernoulli-Kette können die Zufallsvariablen nur 0 oder 1 annehmen, also im Endeffekt ist gefragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eines von denen allein eintritt?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie groß ist P (X1 + X2 + X3 2)?

Stichworte: wahrscheinlichkeit

Hallo, ich will diese Aufgabe rechnen ,aber leider komme ich auf der falsche Antwort ,könnt ihr mir sagen wo liegt mein Fehler

Die Aufgabe lautet

Sei (X1,X2,X3) eine Bernoulli-Kette mit Parameter p = 0.5 auf auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Wie groß ist P (X1 + X2 + X3 < 2)?

also muss ich (n über k) p^k (1-p)^n-k rechnen

wenn ich n über k rechne bekomme ich auf 3

das heisst 3(0,5)^2(0,5)^1 =0,375

und das richtige Antwort ist 0,5

Answer 1

\(X_i\) kann nur den Wert 0 oder 1 annehmen, da bernoulliverteilt; jeweils mit der WSK 1/2. Alle Möglichkeiten, sodass die Summe < 2 ist, sind in der Menge \(A = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\} \subseteq \{X_1,X_2,X_3\}^3\).

Nun musst du berechnen

\(\color{white}{=}P(X_1+X_2+X_3 < 2) \\ = P(X_1 = X_2 = X_3 = 0) + P(X_1 = X_2 = 0, X_3 = 1) + \cdots \\ = P(X_1 = X_2 = X_3 = 0) + 3 \cdot P(X_1 = X_2 = 0, X_3 = 1) \\ = \cdots\)

Hierbei kannst du aufgrund der st. Unabh. ausnutzen, dass \(P(X_1 = i, X_2 = j, X_3 = k) = P(X_1=i) \cdot P(X_2 = j) \cdot P(X_3 = k)\) ist.
(\(i,j,k\in \{0,1\}\))

Answer 2

Hallo,

ich vermute, Du hast nicht daran gedacht, dass der Fall \(X_1=X_2=X_3=0\) auch dazu führt, dass die Summe kleiner als 2 ist.

Gruß Mathhilf