Gleichgewichtszustand am Markt von Marktanteilen

Question

Aufgabe:

Bedingung für stabile Marktanteile

\( \left(\begin{array}{lll}0,2 & 0,5 & 0,3 \\ 0,5 & 0,4 & 0,3 \\ 0,3 & 0,1 & 0,4\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \)

Lineares Gleichungssystem

\(\mathrm{I:} 0,2 x+0,5 y+0,3 z=x \)
\( \mathrm{II:} 0,5 x+0,4 y+0,3 z=y \)
\(\mathrm{III}:0,3 x+0,1 y+0,4 z=z \)
\( \mathrm{IV}: \quad \mathrm{x}+\quad \mathrm{y}+\quad \mathrm{z}=1 \)

Vereinfachtes Gleichungssystem
\( 10 \cdot I:-8 x+5 y+3 z=0 \)
\( 10 \cdot \) II: \( \quad 5 x-6 y+3 z=0 \)
\( \mathrm{IV}: \quad x+y+z=1 \)

Lösung des Gleichungssystems \( x=34,7 \%, y=41,1 \%, z=24,2\% \)

Marktgleichgewicht/stabile Anteile

Magazin \( S: 34,7 \% \)

Magazin \( F: 41,1 \% \)

Nichtleser: \( 24,2 \% \)

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf die Bedingung für stabile Marktanteile?

Und warum ersetzt man Gleichung 3.(bei Vereinfachtes Gleichungssystem) durch Gleichung 4.?

Answer 1

Wie kommt man auf die Bedingung für stabile Marktanteile?

Gesucht ist der Verteilungsvektor des Marktes, der sich bei der Multiplikation mit dre Matrix nicht mehr ändert.

M * v = v

Und warum ersetzt man Gleichung 3.(bei Vereinfachtes Gleichungssystem) durch Gleichung 4.?

Da es unendlich viele Vektoren gibt die obige Gleichung erfüllen ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Wir brauchen also nur 2 Zeilen des Gleichungssystems betrachten. Das liegt daran das die letzte Zeile der Matrix die Spaltensumme ja auch genau zu 1 ergänzt.

Jetzt suchst du aber einen bestimmten Fixvektor. Und zwar genau den bei dem die Spaltensumme auch genau 1 = 100% ergibt.

Comments

Vielen Dank, die Antwort hat mir sehr geholfen.