Zeigen sie dass es drei Stellen c1, c2, c3 geben muss, sodass f^[1](c1) = f^[1](c2) = f^[1](c3).

Question

Aufgabe:

Es sei f: ℝ → ℝ eine differenzierbare Abbildung, so dass es 4 Zahlen gibt mit b1, b2, b3, b4 aus den reellen Zahlen, deren Bilder f(b1), f(b2), f(b3), f(b4) sich alle auf einer Geraden befinden. Zeigen sie nun dass es drei Stellen c1, c2, c3 geben muss, sodass f'(c1) = f'(c2) = f'(c3).

Problem/Ansatz:

Ich habe große Problem solche Aussagen zu beweisen und stehe voll auf dem Schlauch würde mich über einen Tipp, freuen welcher mathematische Satz oder welches Lemma mir hier weiterhelfen könnte.

Comments

Riecht nach Mittelwertsatz.

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Super danke. Werde versuchen die Definition anzuwenden.

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Was mich etwas verwirrt ist das hier keine Beziehung zwischen f(b1), f(b2), f(b3), f(b4) beschrieben wird welche der Funktionswerte größer als ein anderer ist. Normalerweise hat man bei der Definition des Mittelwertsatzes ja ein Intervall und erhält die Aussage das es eine Punkt c ∈ Intervall geben muss für welches gilt dass die Ableitung von c dem Differenzenquotienten der Intervallgrenzen entspricht (man zieht ja hier dann vom größeren Funktionswert den kleineren ab). Heißt dass nun hier dass ich also drei Differenzenquotienten bilden muss (eine für f'(c1), einen für f'(c2) und eine für f'(c3)) und dann zeigen muss dass die drei gleich sind?

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Könnte man da nicht auch so argumentieren:

f hat ja grad 4, dh. maximal 3 Extrema. Also hat die Ableitung entweder 3 Reelle Nullstellen oder genau eine, da komplexe Nullstellen ja paarweise auftreten.

Den Fall dass f nur ein Extremum besitzt kann man ausschließen, da die Bedingung für die 4 gleichen Funktionswerte ausgeschlossen werden kann. Wir wissen also, dass f 3 Extrempunkte besitzt.

Jetzt kann man schön mit dem Mittelwertsatz argumentieren.

Falls noch fragen offen sind kannst du gerne nochmal schreiben.

MfG

Simon

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Daran habe ich noch gar nicht gedacht. Danke für den Tipp.

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f hat ja grad 4, dh. maximal 3 Extrema. Also hat die Ableitung entweder 3 Reelle Nullstellen oder genau eine, da komplexe Nullstellen ja paarweise auftreten.

f muss kein Polynom sein. Ein Gegenbeispiel für diese Behauptung wäre auch einfach f(x)=x, da kann man sehr leicht 4 Werte wählen s.d. die Bilder auf einer Geraden liegen, aber es existiert kein Extremum.

Oder sin(x) hat unendlich viele Extrema.

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oh stimmt daran hab ich nicht gedacht, sorry :/

Answer 1

Ohne Einschränkung sei \( b_1 < b_2 < b_3 < b_4 \) (ansonsten nummeriert man die Punkte eben um).

Die Bilder liegen auf einer Geraden, d.h. sie genügen einer Gleichung \( f(b_i) = a \cdot b_i + c \) mit \( a,c \in \mathbb{R} \).

Die Funktion \( f \) ist auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar, insbesondere ist sie für \( i \in \{ 1,2,3\}\) auf den Intervallen \( [b_i, b_{i+1} ] \) stetig und auf den Intervallen \( (b_i, b_{i+1}) \) differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz existiert nun für alle \( i \) jeweils ein \( c_i \in (b_i, b_{i+1}) \), s.d. $$ f'(c_i) = \frac{f(b_{i+1}) - f(b_i)}{b_{i+1} - b_i} =  \frac{(a \cdot b_{i+1} + c ) - (a \cdot b_i + c )}{b_{i+1} - b_i} = \dotsm = a $$

Comments

Hey danke für deine Antwort. Also verstehe ich es richtig dass der Wert des Differenzenquotienten genau der Steigung der Geraden auf dem die Funktionswerte der b's liegen entspricht?

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Ja genau. Ganz allgemein entspricht der Differenzenquozient $$ \frac {f (b)-f (a)}{b-a} $$ der Steigung der Geraden durch die Punkte \( (a, f (a)) \) und \( (b, f (b)) \).