Aufgabe:
Gegeben seien die Funktionen f1, f2 und f3 mit
f1 : (−∞, −2) → R mit x → x ^ 2 + 6x / x-2
x+1
f2 : (−2, 2] → R mit x → x ^ 2 + 6x / x-2
x+1
f3 : [2, ∞) → R mit x → x ^ 2 + 6x / x-2
Welche der Funktionen ist monoton wachsend bzw. monoton fallend?
Ist f3 nach oben oder nach unten beschränkt?
Problem/Ansatz:
Zunächst habe ich die Ableitung durchgeführt.
f'1(x) = f'2(x) = f'3 (x) = (x2 - 4x + 12) / (x-2)2
Mittels P-Q Formel erhalte ich: x1= 6, x2=-2. D.h. an diesen Stellen ist die Steigung 0 richtig?
Jetzt sollte ich durch meine Grenzwerte einen Wert nehmen können und diesen in die jeweiligen Funktion einsetzen d.h.
f1 : (−∞, −2), nehme ich den Wert: -5
Setze für x=-5 in die 1. Ableitung:
f'1(-5) = 33/49 (ein positiver Wert = monoton Steigend).
f2: (−2, 2), , nehme ich den Wert: 1
Setze für x=1 in die 1. Ableitung:
f'2(1) = -15 (ein negativer Wert = monoton fallend).
f2: (2, ∞), , nehme ich den Wert: 5
Setze für x=5 in die 1. Ableitung:
f'3(5) = -7/9 (ein negativer Wert = monoton fallend).
Ich hatte hier eine ähnliche Aufgabe gesehen, jedoch ein ganz anderen Ansatz.