Welche der Funktionen ist monoton wachsend bzw monoton fallend?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen f1, f2 und f3 mit

f1 : (−∞, −2) → R mit x → x ^ 2 + 6x / x-2
x+1
f2 : (−2, 2] → R mit x → x ^ 2 + 6x / x-2
x+1
f3 : [2, ∞) → R mit x → x ^ 2 + 6x / x-2

Welche der Funktionen ist monoton wachsend bzw. monoton fallend?

Ist f3 nach oben oder nach unten beschränkt?

Problem/Ansatz:

Zunächst habe ich die Ableitung durchgeführt.

f'1(x) = f'2(x) = f'3 (x) = (x² - 4x + 12) / (x-2)²

^{Mittels P-Q Formel erhalte ich: x1= 6, x2=-2. D.h. an diesen Stellen ist die Steigung 0 richtig?}

^{Jetzt sollte ich durch meine Grenzwerte einen Wert nehmen können und diesen in die jeweiligen Funktion einsetzen d.h.}

f1 : (−∞, −2), nehme ich den Wert: -5

Setze für x=-5 in die 1. Ableitung:

f'1(-5) = 33/49 (ein positiver Wert = monoton Steigend).

f2: (−2, 2), , nehme ich den Wert: 1

Setze für x=1 in die 1. Ableitung:

f'2(1) = -15 (ein negativer Wert = monoton fallend).

f2: (2, ∞), , nehme ich den Wert: 5

Setze für x=5 in die 1. Ableitung:

f'3(5) = -7/9 (ein negativer Wert = monoton fallend).

Ich hatte hier eine ähnliche Aufgabe gesehen, jedoch ein ganz anderen Ansatz.

Comments

Die Frage sieht sehr ähnlich bzgl. dieser Frage aus:

https://www.mathelounge.de/746259/monotonie-und-beschranktheit-bei-funkionen-zeigen

Der Ansatz ist im Übrigen sehr ähnlich.

f₂ (2) und f₃ (2) sind nach dieser Vorschrift nicht definiert. Die Klammerung für die Funktionsterme scheint außerdem falsch zu sein.

Keine deiner Funktionen f₁ , f₂ , f₃ ist für -2 definiert.

Answer 1

f(x) = (x^2 + 6·x)/(x - 2)

f'(x) = (x^2 - 4·x - 12)/(x - 2)^2 = 0 --> x = -2 ∨ x = 6

In deiner Ableitung hattest du einen Schreibfehler. Es sollte - 12 und nicht + 12 lauten.

Achtung. Bei 6 ist noch ein Monotoniewechsel. Das hattest du ja auch schon heraus.

Daher ist f3 : [2, ∞) → R mit x → (x ^ 2 + 6x) / (x - 2) weder monoton fallend noch steigend.

Ansonsten sind deine Erkenntnisse richtig soweit ich das überflogen habe.

Da die 2 allerdings nicht in den Definitionsbereich fällt ist die 2 nicht im Definitionsbereich. Hast du die Funktionen so notiert?

Comments

Da die 2 allerdings nicht in den Definitionsbereich fällt ist die 2 nicht im Definitionsbereich.

Bemerkenswert.

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Ja war ein Schreib/Tiippfehler... vielen Dank. D.h.wenn ich eine weitere Monotoniewechsel habe, in einem Intervall, kann ich sofort sagen, dass sie weder Fallend noch steigend ist?

Ich verstehe aber immernoch nicht, wie ich die Monotonie herausbekomme?

f'(x) > 0, heißt Monoton steigend

f'(x) < 0, heißt Monoton fallend.

Richtig?

Edit: Es sollte f3: (2, ∞) heißen, sorry!

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Richtig. Das hast du mit

f'1(-5) = 33/49 (ein positiver Wert = monoton Steigend).

ja auch richtig erkannt.

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Meiner Meinung nach lauten die Intervalle wie folgt

im Intervall ]-∞, -2] streng monoton steigend
im Intervall [-2, 2[ streng monoton fallend
im Intervall ]2, 6] streng monoton fallend
im Intervall [6, ∞[ streng monoton steigend

Beachte das ich die -2 und die 6 in die Intervalle eingeschlossen habe die 2 allerdings nicht weil die nicht im Definitionsbereich ist.

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Vielen dank, hat der Roland sich dann verrechnet :/?

Ich kriege folgendes raus:

Auf (−∞, −2): steigend;

Auf (−2, 2): fallend

Für x=2 nicht definiert.

Auf (2, 6): fallend

Auf (6.∞): Steigend

Edit: Genau so habe ich es auch raus. Vielen dank!

Jetzt wäre die frage: Ist f3 nach oben oder nach unten beschränkt? Wie ermittel ich das?

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Ja. Das ist ok. Wie gesagt nehme ich die -2 und die 6 mit in die Intervalle. Das handhaben die Lehrer allerdings unterschiedlich.

Answer 2

Deine Ableitung enthält einen kleinen Vorzeichenfehler. Es sollte heißen:

f '(x)=(x²-4x-12)/(x-2)². Die Nullstellen sind aber trotzdem richtig.

Auf (−∞, −2): steigend;

Auf (−2, 2): fallend;

Für x=2 nicht definiert.

Auf (2, 6): fallend;
Auf (6, ∞): steigend

Comments

Wie hast du die Monotonie bestimmt?

Wenn ich f1 : (−∞, −2), den Wert: -5 einsetze.

Setze für x=-5 in die 1. Ableitung:

f1'(x) = x^2-4x-12 / (x-2)^2

f1'(-5) = (-5)^2-(4*(-5))-12 / (-5-2)^2

= (25-(-20)-12 / (-7)^2

= (25+20-12) / 49

= 33 / 49 (positives Vorzeichen, Monoton Steigend)?

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Hatte mich verschrieben. Jetzt geändert.

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Danke dir!

Jetzt wäre die frage: Ist f3 nach oben oder nach unten beschränkt? Wie ermittel ich das?

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Beschränkung nach unten: Zeige (x²+6x)/(x-2)>18 für 2<x<∞.

Beschränkung nach oben: Führe (x²+6x)/(x-2)<a für 2<x<∞ zum Widerspuch.

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Wie kommst du auf das >18?

Ich steht komplett auf der Spur. Setze ich jetzt ein beliebiges x aus dem Grenzwert ein? Könntest du vielleicht das Beispiel ausführen?

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Wie kommst du auf das >18?

Minimum bei x=6. f(6)=18 ist tiefster Wert in diesem Bereich.

Ich steht komplett auf der Spur. Setze ich jetzt ein beliebiges x aus dem Grenzwert ein? Könntest du vielleicht das Beispiel ausführen?

(x-6)²>0, weil Quadrate positiv sind.

x²-12x+36>0, 2. bin.Formel.

Auf beiden Seiten +18x-36:

x²+6x>18x-36

x²+6x>18(x-2)

Wegen x>2 ist x-2>0, also kann man unter Beibehaltung des >Zeichens durch x-2 dividieren:

(x²+6x)/(x-2)>18, wenn x>2.

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(x-6)²>0 ist schon falsch.

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@Spacko: Belege deine Behauptung bitte mit einem Gegenbeispiel. Wenn du x=6 angibst, dann muss ich > durch ≥ ersetzen. So, what?