Beweisen Sie, ob die Abbildungen linear sind

Question

Ich soll untersuchen, welche der Abbildungen linear sind und dies beweisen.

a) \( \Phi_{1}: R[x] \mapsto R, \quad p \mapsto p(1) \)
b) \( \Phi_{2}: R^{3} \mapsto R, \quad\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \mapsto\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right| \)
c) \( \Phi_{3}: R^{2} \mapsto R^{2}, \quad(x, y)^{T} \mapsto(3 x y, 9 x)^{T} \)
d) \( \Phi_{4}: R^{2} \mapsto R^{2}, \quad(x, y)^{T} \mapsto(3 x-y, 9)^{T} \)
e) \( \Phi_{5}: R^{3} \mapsto R^{2},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x+2 y+3 z \\ 3 x+2 y+z\end{array}\right) \)

Comments

Meinst du bei a) reelle Polynome?

je nach eurer Definition von linearen Abbildungen müsst ihr da zeigen, dass

PHI(ax + by) = aPHI(x) + bPHi(y)        für a,b Element R

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In der Aufgabenstellung ist es nicht genauer erläutert, aber ich gehe auch davon aus dass in a) es sich um reelle Polynome handelt.

Answer 1

die Abbildung bei a) bildet Polynome auf ihren Wert bei 1 ab. Diese Abbildung ist wegen

\( \phi (ap + bq) = a \phi(p) + b \phi(q) \)

linear (p und q sind die Polynome).

b) ist nicht linear, weil \( (x_1, x_2, x_3) \) und \( (-x_1, x_2, x_3) \) auf das gleiche Bildelement abbilden.

c) ist aus einem einfachen Gründen nicht linear: Es enthält ein nichtlineares Monom (xy). Nachweis mit Linearitätsbedingung.

d) ist wegen der Konstante 9 in der y-Koordinate nichtlinear.

e) ist trivialerweise linear.

Alle Nachweise geschehen mit der Linearitätsbedingung \( \phi (ap + bq) = a \phi(p) + b \phi(q) \) an die Abbildung \( \phi \).

MfG

Mister