Man berechne das Integral:o ∫^2 e^{- x} / ( 2 e^{ - x} + 1 ) dx

Question

Wie lässt sich folgendes Integral lösen und wie ist hier am besten vorzugehen?

\( \int \limits_{0}^{2} \frac{e^{-x} d x}{2 e^{-x}+1} \)

Answer 1

Hi mars,

abgesehen von Vorfaktor steht oben die innere Ableitung!


$$-\frac12\int\frac{-2e^{-x}}{2e^{-x}+1} = \left[-\frac12\cdot\ln(2e^{-x}+1)\right]$$


Nur noch die Grenzen einsetzen:

≈0,430


Grüße

Answer 2

e ^{- x} / ( 2 e ^{- x} + 1 ) = 1 / ( 2 + e ^x )

Also:

∫₀²  e ^{- x} / ( 2 e ^{- x} + 1 ) dx

= ∫₀² 1 / ( 2 + e ^x ) dx

 

Bestimmung des unbestimmten Integrals:

Substituiere e^x = u .

Du erhältst:

= ∫ ( 1 / u ) * ( 1 / ( 2 + u ) ) du

Dann Partialbruchzerlegung. Du erhältst:

= ∫ ( 1 / ( 2 u ) ) - ( 1 / ( 2 ( 2 + u ) ) ) du

= ( 1 / 2 ) * (  ∫ ( 1 / u  ) du -  ∫ ( 1 / (  2 + u  ) ) du )

Dann Substitution r = 2 + u . Du erhältst: 

= ( 1 / 2 ) * ∫ ( 1 / u  ) du -  ∫ ( 1 / r ) dr )

= ( 1 / 2 ) ( ln ( u ) - ln ( r ) ) + C

Rücksubstitution: s = u + 2 :

= ( 1 / 2 ) ( ln ( u ) - ln ( u + 2  ) ) * C

Rücksubstitution: u = e ^x :

= ( 1 / 2 ) ( ln ( e ^x ) - ln ( e ^x + 2  ) ) + C

= ( 1 / 2 ) ( x - ln ( e ^x + 2  ) ) + C

 

Berechnung des bestimmten Integrals:

∫₀² 1 / ( 2 + e ^x ) dx

= [ ( 1 / 2 ) ( x - ln ( e ^x + 2  ) ) ]₀²

= [ ( 1 / 2 ) ( 2 - ln ( e ² + 2  ) ) ] - [ ( 1 / 2 ) ( 0 - ln ( e ⁰ + 2  ) ) ]

= 1 - ( 1 / 2 ) * ln ( e ² + 2  ) + ( 1 / 2 ) ln ( 1 + 2  )

= 1 + ( 1 / 2 ) * ( ln ( 3 ) -  ln ( e ² + 2  ) )

= 1 + ( 1 / 2 ) * ln ( 3 / ( e ² + 2 ) )

= 0,4295...