Grenzwertberechnung: ∏i=2n(1−1i)

Question

Aufgabe:

Grenzwerte von Folgen, berechnen:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n}\right) \)

Problem/Ansatz:

Bei diese Folge komme ich bei der Grenzwertberechnung nicht weiter.

Mann man ja dahin umwandeln:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \prod \limits_{i=2}^{n}\left(1-\frac{1}{i}\right) \)

Nur so recht hilft mir das dann auch nicht.

Ideen/Anregungen, wie ich richtig ansetze?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Dann sieht das doch so aus:

$$\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{4}*\frac{4}{5}*...$$

und da lässt sich ganz viel kürzen

\( \prod \limits_{i=2}^{n}\left(1-\frac{1}{i}\right) =\frac{1}{n}\)

Das gäbe den Grenzwert 0.

Comments

Es hat ein wenig gebraucht, aber jetzt habe ich's verstanden. Kann man ja mit Induktion beweisen, dass ∏i=2n(1−1i) = 1/n ist.

Und das ist trivialer Weise der Grenzwert 0.