Residuen und Integrale

Question

Aufgabe:

Hi, ich soll von folgender Funktion die Residuen berechnen und dann damit das Integral:

$$\frac{1}{iz\left(\frac{5}{4}-\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)\right)}$$

$$\int _0^{2\pi }\:\frac{1}{\frac{5}{4}-cos\left(t\right)}\:was\:ja\:nicht\:anderes\:als\:\int _0^{2\pi }\:\frac{1}{iz\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}\left(z+z^{-1}\right)\right)}\:ist\:$$

Problem/Ansatz:

$$Für\:die\:Polstellen\:komme\:ich\:damit\:auf:\:z_1=2\:und\:z_1=\frac{1}{2}$$

Meine Funktion sieht dann folgend aus:

$$\frac{1}{iz\left(\frac{5}{4}-\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)\right)}=\frac{4}{i\left(-2z^2+5z-2\right)}=\frac{4}{i\left(\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-2\right)\right)}$$

Leider komme ich damit aber nicht auf die richtigen Residuen... Kann mir jemand evtl weiterhelfen wo mein Fehler liegt?

Comments

Hallo,

hinter "was ja nichts andere ist als" ist das Integral falsch. Es handelt sich um ein komplexes Kurvenintegral, was über eine geschlossene Kurve läuft - welche?

Deine letzte Gleichung ist rechnerisch falsch. Kommst Du nach Korrektur auf die richtigen Residuen?

Gruß

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Ich kann dir grad leider nicht ganz folgen...

Am Ende muss ich doch aufpassen, dass ich 1/iz mit dazu nehme.

Und durch die Polstellen kann ich dann die Gleichung umformen. Oder macht man das anders? ^^

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Leider kann ich Dir jetzt nicht folgen.

Meine erste Frage war: Über welche Kurve geht das komplexe Kurvenintegral, auf das Du den Residuensatz anwenden willst?

Meine zweite Frage war, ob Du Deine letzte Gleichung (also das letzte Gleichheitszeichen) mal rechnerisch überprüfen kannst - noch konkreter: Steht links und rechts dasselbe?

Gruß

Answer 1

Hallo,

1/2 und 2 stimmen , 2 fällt ja heraus, weil außerhalb des Einheitskreises.

Ich habe erhalten:

= 1/i ∫ 4/ ((-2)( z-1/2)(z-2) dz von 0 bis 2π

=1/i ∫ (-2)/ (( z-1/2)(z-2)) dz von 0 bis 2π

->

=1/i res(1/2) =\( \lim\limits_{z\to1/2} \) (z-1/2) ´*(-2)/ (( z-1/2)(z-2))

=1/i res(1/2) =\( \lim\limits_{z\to1/2} \) (-2)/ (z-2))

=1/i *4/3

=2π i *1/i *4/3

=(8π)/3

Comments

Danke für deine Rückmeldung!

Leider kann ich nicht ganz nachvollziehen woher die "-2" im Nenner her kommt ^^

Kannst du mir da evlt noch auf die Sprünge helfen?

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Du mußt auf -2z^2 +5z-2 kommen.

(z-1/2)(z-2) liefert "NUR" z^2 -(5/2) z+1

mit dem Faktor -2 bekommst Du -2z^2 +5z-2

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Hallo,

ich habe schon zweimal versucht darauf hinzuweisen: z läuft nicht von 0 bis \(2 \pi\), sondern über den Einheitskreis.

Gruß

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das Ergebnis ist richtig.