Bestimmen von ∫ [-2, 2] φ(x) dx, ∫ [0, 5] φ(x) dx über Treppenfunktion

Question

Bestimmen von:

a)  ∫ [-2, 2] φ(x) dx

b)  ∫ [0, 5] φ(x) dx

über die Treppenfunktion:

φ: ℝ → ℝ, φ(x) :=

{ 1, x < 1

{ -2, 1 ≤ x < 3

{ 3, x ≥ 3

Die Lösung habe ich schon gefunden: a) 1 und b) 3.

Wie berechne/bestimme ich jedoch die Funktionen?

Answer 1

Aloha :)

$$\int\limits_{-2}^2\varphi(x)\,dx=\int\limits_{-2}^1\varphi(x)\,dx+\int\limits_1^2\varphi(x)\,dx=\int\limits_{-2}^11\,dx+\int\limits_1^2(-2)\,dx=\left[x\right]_{-2}^1+[-2x]_1^2$$$$\qquad=1-(-2)+(-4)-(-2)=1+2-4+2=1$$

$$\int\limits_{0}^5\varphi(x)\,dx=\int\limits_0^1\varphi(x)\,dx+\int\limits_1^3\varphi(x)\,dx+\int\limits_3^5\varphi(x)\,dx$$$$\qquad=\int\limits_0^11\,dx+\int\limits_1^3(-2)\,dx+\int\limits_3^53\,dx=\left[x\right]_0^1+\left[-2x\right]_1^3+[3x]_3^5$$$$\qquad=1-0-6-(-2)+15-9=3$$

Comments

Jetzt habe ich es verstanden!

Danke für diese ausführliche Antwort!

Answer 2

Hallo

die Funktion- stückweise konstant- steht ja da, d.h du musst eben das Integral über die entsprechenden Teilstücke bestimmen, bzw. die Fächer der Rechtecke .

Gruß lula