Streckenzug mit Strecke vergleichen

Question

Im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ABC schneidet die Halbierende des Basiswinkels β  die Gegenkathete in D. Vergleiche die Länge des Streckenzuges BCD mit der Länge der Hypotenuse AB.

Answer 1

Hallo Roland,

man errichte in \(A\) die Senkrechte (schwarz) auf die Winkelhalbierende \(BD\) (gelb). Die Senkrechte schneidet die Verlängerung von \(BC\) in \(E\).

Die Dreiecke \(\triangle BCD\) und \(\triangle ACE\) sind konkruent, da sie in zwei Winkeln und einer Seite \(|BC| = |CA|\) überein stimmen. Folglich ist auch \(|CD|=|CE|\). Das Dreieck \(\triangle EAB\) ist gleichschenklig, wegen der Symmetrie zu \(BD\).

Also ist $$|BC| + |CD| = |BC| + |CE| = |BE| = |BA|$$Der Streckenzug \(BCD\) ist so lang wie die Hypotenuse \(AB\).

Comments

Hallo Werner,

ein sehr schöner Beweis.

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Vielen Dank für die schöne Lösung, erst jetzt stelle ich fest, dass ich die ganze Zeit einem Irrtum unterlagen, denn ich wollte den Streckenzug BDC, statt wie es richtig ist BCD betrachten. Doch nun zu meiner Lösung.

Ich denke mir einen Kreisbogen mit der Länge 1 = BD um B, dann bilden BC=a (reeller Anteil)  und CD = b (imaginärer Anteil)  die komplexe Zahl c= a + bi.

Es gilt ( a + bi) (a + bi) =√1/2 +√1/2 i

Damit also a² - b² = √1/2

aber auch 2ab = √1/2

da wir uns auf dem Einheitkreis beenden auch a² + b² = 1

a² + 2ab + b² = 1+√1/2

a + b = √(1 + √1/2) = √(2a² ) = BA, wzzw ,

denn 2 a² = (a² + b² ) + ( a² - b² )= 1+ √1/2,

zugegeben, nicht so schön wie Werners Beweis.

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Es gilt ( a + bi) (a + bi) =√1/2 +√1/2 i

ohne ein Bild ist das nicht offensichtlich ;-)

aber nette Idee, wie kommt man auf sowas?

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Das Bild gab es doch in der Aufgabe.

Wurzel (cos x + i sin x) = cos x/2 + i sin x/2

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Das Bild gab es doch in der Aufgabe.

Nö - Das Bild, was ich meine, sieht so aus:

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@Hogar

Sehr cool, ich habe diese "Geometrie mit komplexen Zahlen"  bisher nur beim Mitglied Gast hj2166 gesehen.

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Danke für das Bild und für die Blumen. Ich bin noch am üben, doch mit den Handy war es so schon schwieriger, es zu beschreiben, als die Aufgabe zu lösen.

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