Berechnen sie die Elemente der Matrix X. A • X = -2 • X

Question

Aufgabe:

A und X sind die unten aufgeführten Matrizen. Es gelte A • X = -2 • X.

Berechnen sie die Elemente der Matrix X.

A=

1	2	1
4	3	2
1	3	-1

X=

X1

X2

X3

Lösung: X = λ •

1

2

-7

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich die Aufgabe Lösen soll.

Ich stelle drei gleichungen auf.

Versuche ich dann durch Gauß bis auf die Diagonale alles zu nullen?

1	2	1	=	-2X1
4	3	2	=	-2X2
1	3	-1	=	-2X3

Verändern sich die X auf der rechten Seite auch oder werden die genullt? Wie gesagt, kein Ansatz.

Danke.

PS. Wusste leider nicht, wie ich die Matrizen hätte schöner darstellen können.

Comments

Kann mir jemand sagen, wie ich meine Frage bearbeiten kann? Habe nun begriffen, wie ich hier Matrizen und Co. vernünftig darstelle aber ich finde keinen "Bearbeiten-Button" oder ähnliches,.. :/

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Füge ein Bild der Aufgabenstellung als Kommentar ein und schau was die Latexumsetzung daraus macht. Das Bild kannst dann ggf. löschen!

X ist keine Matrix sondern ein Vektor

A x + 2 x =0

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X ist keine Matrix sondern ein Vektor

$$\text{In diesem Kontext handelt es sich bei Vektoren als Zahlen-n-tupel um } \\n\times 1 \text{ Matrizen.}$$

Answer 1

A • X = -2 • X.

<=>  A • X = -2 • E • X

<=> A • X +2 • E • X = 0-Vektor

<=> (A+2E)• X = 0-Vektor

Das gibt ein homogenes lineares Gleichungssystem

3x1 + 2x2 + x3 = 0
4x1 + 5x2 +2x3 = 0
x1 + 3x2  +x3 = 0

Jetzt mit Gauss die Matrix umformen gibt z.B.

4    5     2     
0    7     2
0    0     0

Also x3 beliebig, etwa x3=7t
(damit man leichter auflösen kann.)

==>  7x2  + 2*7t = 0 ==>  x2=-2t

und mit der ersten

4x1 + 5*(-2t) + 2*(7t) = 0

==>   4x1 = -4t

==>   x1 = -t .

Also sind alle Lösungen von der Form

( -t ; -2t ; 7t ) =  t * ( -1 ; -2 ; 7 )

und mit t= -λ gibt das genau die Musterlösung.