Äquivalenzklassen bestimmen und skizzieren

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass auf ℝ² durch (x₁,y₁) ∼ (x₂,y₂) ⇔ x₁ · y₁ = x₂ · y₂ eine Äquivalenzrelation definiert ist.

b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen [(0,0)], [(1,1)] und [(1,−1)] und skizzieren Sie diese.

Problem/Ansatz:

Zur b) ich weiß, dass die ÄK von [(0,0)] = {(x,y) ∈ ℝ² | x=0 oder y=0} ist. Aber wie bestimme ich das für die restlichen ÄK und wie skizziert man diese dann in ein Koordinatensystem?

Answer 1

{(x,y) ∈ ℝ2 | x=0 oder y=0} Das sind die Achsen des KOS.

Und [(1;1)] sind alle Paare, bei denen das Produkt 1 ist,

also sowas wie y=1/x gibt zwei Hyperbeläste im 1. und 3. Quadranten.

Und bei -1 eben im zweiten und vierten.

Comments

Hallo, danke für die schnelle Antwort! :)

Wie genau ist das gemeint mit den Quadranten?

Die Punkte im KOS für [(0,0)] wären dann die 0 auf der x und y Achse?

Wären die Punkte für [(1,1)] dann jeweils die 1en von der x und x Achse oder wie?

Und bei der [(1,-1)] bin ich mir dennoch unsicher was da die Punkte auf der Achse wären.

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Für +1 ( also die Klasse [(1;1)] ist es der blaue Graph

(also so Punkte wie (0,5;2) und (0,25;4) etc.

und für -1 der rote.

~plot~ 1/x;-1/x ~plot~

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Ohhhh, jetzt habe ich es verstanden!

Vielen vielen Dank! :)