Question

Wieviel injektive Abbildungen (1,2,3)->(a,b,c,d,e,f) gibt es ?

Kann mir da jemand helfen ?

Answer 1

Jede dieser Abbildungen hat als Bild eine 3-elementige Teilmenge

von (a,b,c,d,e,f). Davon gibt es  6 über 3 also 20 Stück.

Die Abbildungen mit der gleichen Bildmenge unterschieden sich nur

durch die Reihenfolge in der den Zahlen die

Buchstaben zugeordnet werden , also gibt es davon immer 3! = 6 Stück.

Also insgesamt 6*20 = 120 verschiedene Abbildungen.

Answer 2

Aloha :)

Injektiv bedeutet, das jedes Element der Bildmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Weil die Definitionsmenge 3 Element hat, muss die Bildmenge also mindestens 3 Elemente haben, auf die abgebildet wird.

Es gibt \(\binom{6}{3}=20\) Möglichkeiten, aus den \(6\) Elementen genau \(3\) auszuwählen, auf die tatsächlich abgebildet wird. Diese \(3\) können in \(3!=6\) möglichen Reihenfolgen angeordnet werden. Zusammen sind das \(120\) Möglichkeiten.

Die Bildmenge kann auf \(3\) Arten zu einer 4-elementigen Menge aufgefüllt werden, auf \(3\) Arten zu einer 5-elementigen Menge und auf \(1\) Art zu einer 6-elementigen Menge.

Insgesamt gibt es also \(8\cdot120=960\) mögliche injektive Abbildungen.

Comments

Hallo,

sehe ich das richtig, dass hier ein Redakteur und ein Moderator zwei Antworten mit verschiedenen Ergebnissen unkommentiert nebeneinanderstellen?

Gruß

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Meine Antwort beinhaltet noch, dass die Bildmenge über Elemente verfügen kann, auf die nicht abgebildet wird. Das fehlt bei der Antwort von matheef.

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Hallo,

"Insgesamt gibt es also 8⋅120=960 mögliche injektive Abbildungen."

Diese Antwort ist falsch. Der Kommentar für die Fragestellung irrelevant.

Nochmal zu Begründung (analog zu mathef): Es sei \(f:\to \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d,e,f\} \) eine injektive Abbildung. Dann gibt es 6 Möglichkeiten, \(f(1)\) zu wählen, 5 für \(f(2)\) und 4 für \(f(3)\), insgesamt 120.

Gruß

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Sicher?

\(f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+\,,\,x\,\mapsto x\) ist injektiv

\(f:\mathbb R^+\to\mathbb R\,,\,x\,\mapsto x\) ist auch injektiv

Die gleiche Abbildungsvorschrift, aber 2 unterschiedliche Abbildungen, weil sich die Bildmengen unterscheiden.

Genauso ist das hier, die Bildmenge kann aus mehr als 3 Elementen bestehen; auf die zusätzlichen Elemente wird aber nicht abgebildet.

Was ihr angebt, ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen. Danach ist aber nicht gefragt.

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Es gibt genau 3 injektive Abbildungen \(f:\{1\} \to \{1,2,3\}\), nämlich die mit \(f(1)=1, f(1)=2, f(1)=3\). Daran ändert es nichts, dass im ersten Fall 2 und 3  nicht verwendet werden.

Bijektive Abbildungen \(f:\{1,2,3\} \to \{a,b,c,d,e,f\}\) gibt es nicht.

Vielleicht schaust Du mal ins Internet, wenn ich Dich nicht überzeugen kann.

Gruß

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$$f:\{1\}\to\{1,2,3\}\,:f(1)=1$$$$f:\{1\}\to\{1,2\}\,:f(1)=1$$$$f:\{1\}\to\{1,3\}\,:f(1)=1$$$$f:\{1\}\to\{1\}\,:f(1)=1$$

$$f:\{1\}\to\{1,2,3\}\,:f(1)=2$$$$f:\{1\}\to\{1,2\}\,:f(1)=2$$$$f:\{1\}\to\{2,3\}\,:f(1)=2$$$$f:\{1\}\to\{2\}\,:f(1)=2$$

$$f:\{1\}\to\{1,2,3\}\,:f(1)=3$$$$f:\{1\}\to\{1,3\}\,:f(1)=3$$$$f:\{1\}\to\{2,3\}\,:f(1)=3$$$$f:\{1\}\to\{3\}\,:f(1)=3$$

Hmmm, ich zähle 12 injektive Abbildungen.

Die Frage ist eigentlich, ob die Bildmenge fest vorgegeben ist oder ob man die Elemente, auf die nicht abgebildet wird, auch entfernen darf. Im ersten Fall habt ihr recht, im zweiten Fall gibt es mehr als die 120 Abbildungen.

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Zur Menge der Funktionen der Bauart \(f: \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d,e,f\}\) zählen diejenigen nicht dazu, bei deinen Elemente aus der Bildmenge gestrichen werden, oder?

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Kannst Du auch Deine Aussage über die bijektiven Abbildungen, die ich nach Deiner Meinung zähle mal erläutern?

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Ja, schau mal in meiner Auflistung der 12 Funktionen, die letzte in jedem Block ist jeweils bijektiv.

Es dreht sich alles um die Frage, ob man nicht-verwendete Elemente aus der Bildmenge entfernen darf. Ich bin davon ausgegangen, bin mir aber nicht sicher.

@racine_carree:

Bist du dir da auch unsicher oder war das als Frage an mich gemeint?

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Ich versuche es nochmal alternativ: Unter einer Abbildung \(f: \{1\} \to \{1,2,3\}\) versteht man ein Paar der Form \((1,x)\) mit \(x \in \{1,2,3\}\). Davon gibt es offenbar 3 Stück. Niemand würde die Frage mit 4 beantworten, weil \((1,2)\) auch zur Menge aller Paare \((1,x)\) mit \(x \in \{1,2\}\).

Im Übrigen ist die Frage nach der Anzahl der injektiven Abbildungen \(f:A \to B\) eine Standard-Frage der diskreten Mathematik, die überall mit der Formel \(\frac{n!}{(n-k)!}\), Anzahl von A ist k, Anzahl von B ist n, beantwortet wird.

Gruß

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Bist du dir da auch unsicher oder war das als Frage an mich gemeint?

Ich verstehe beide Interpretationsweisen; bin mir aber nicht sicher.

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Nunja, niemand ist etwas wenig... weil ich habe ja so krumm gedacht ;)

Aber ich verstehe, was ihr meint. Bin aber noch nicht ganz überzeugt, ich schau mal im Netz, ob ich irgendwo Beispiele finde.