Wie beweise ich das neutrale und inverse Element der komplexen Zahlen?

Question

Ich habe da nochmal eine Frage. Bin gerade ziemlich ratlos.
Wir müssen das neutrale und inverse Element der Addition und Multiplikation bei komplexen Zahlen beweisen.
unsere Definitionen sind
neutrales Element:
e⋅a=a⋅e=a
inverses Element:
a^{−1}⋅a=a⋅a^{−1} = e

wir haben a gegeben mit (x+yi)
wenn ich das einsetze habe ich
(x+yi)^{-1} ⋅ (x+yi)

allerdings habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich das Inverse oder das neutrale Element nun beweisen soll...
Kann mir da einer helfen?

Comments

Einige sprachliche Korrekturen:

Es gibt kein inverses Element der komplexen Zahlen.

Was es gibt ist ein inverses Element zu einer komplexen Zahl.

Ferner kann man weder inverse Elemente noch das neutrale Element beweisen. Man kann keine Zahlen beweisen, nur Aussagen.

Die eigentliche Frage ist wohl:

Bestimmen sie das nuetrale Element der Addition und Multiplikation und bestimmen sie das inverse einer komplexen Zahl bzgl. Add. und Mult.

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Als Beispiel das neutrale Element der Addition:

Es muss ja (x+iy) +e =x+iy gelten.Vergleichen wir also auf den beiden Seiten jeweils Real- und Imaginärteil:

x+Re(e)=x und y+Im(e)=y. (Das sind Gleichungen in den reellen Zahlen)

Da die reellen Zahlen ein Körper sind hat dort Zahl ein additives Inverses. Daher können auf die Gleichungen  -x bzw. -y  anwenden und wir haben die zwei gleichungen:

Re(e)=0 und Im(e)=0 damit ist e=0.

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Vom Duplikat:

Titel: Welche Produktdefinition und übrige Operator-def sind geeignet zum rechnen mit hyperkomplexen Zahlen?

Stichworte: algebra,zahlen,hyperkomplex

Welche Produktdefinition und übrige Operator-def sind geeignet zum rechnen mit hyperkomplexen Zahlen?

Warum sind komplexe Zahlen ein Körper?

Warum sind Quotienten, Potenzen und Logarithmen von Summen von Quadratwurzeln von hyperreellen Zahlen

Summen von Quadratwurzeln von hyperreellen Zahlen oder bedeutungslos?

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hyperkomplex, hyperreell, hyperrhabarber, ...

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? https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperkomplexe_Zahl

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Hier steht lauter Mist. Dass es die Begriffe hyperkomplex und hyperreell gibt, aendert daran gar nichts.

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Der Link ist meine Antwort auf die Frage. Nach dessen Lektüre erwarte ich, wenn überhaupt, spezifischere Fragen. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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KubePrims, bist Du es? :D

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Nach dessen Lektüre erwarte ich, wenn überhaupt, spezifischere Fragen.

Eine spezifische Frage ist doch dabei:

Warum sind komplexe Zahlen ein Körper?

Die Wikipedia-Artikel wurden wohl nur grob überflogen. Durch die vielen Fragen wirkt der Beitrag etwas wirr.

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Der Link im blauen Balken oben führt zu einem Teil des Beweises der Körperaxiome. https://www.mathelounge.de/74676/wie-beweise-ich-neutrale-inverse-element-komplexen-zahlen

So hat der Gast die Möglichkeit seine Fragen spezifischer zu stellen.

André: Falls du eine Antwort schreiben möchtest, kannst du als Redakteur die Frage auch wiedereröffnen.

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Vom Duplikat:

Titel: Warum sind Quadratwurzeln hyper-reeller Zahlen nur "komplexe Zahlen" mit hyperreellen Beträgen oder nicht seiend?

Stichworte: komplexe-zahlen

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Answer 1

Das neutrale Element der Multiplikation ist offensichtlich gleich  1,
denn für alle  z ∈ ℂ  ist  z·1 = z.$$\small\text{Für }z=x+yi\in\mathbb C\text{ ist } (x+yi)\cdot(x-yi)=x^2+y^2.\text{ Für }z\ne0\text{ ist daher}$$$$z^{-1}=\frac x{x^2+y^2}-\frac y{x^2+y^2}i\text{ das multiplikative inverse Element von }z.$$