Sei f integrierbar. Dann ist f+ ebenso integrierbar

Question

Aufgabe: Sei f: [a, b] → R eine integrierbare Funktion. Dann ist f+ (der Positivteil von f) ebenso integrierbar.

Problem/Ansatz: Hallo Leute! Zu dem Satz oben muss ich den passenden Beweis lernen. Dieser lautet folgendermaßen:

Nach Voraussetzung gibt es zu ε > 0 Treppenfunktionen φ, ψ ∈ T [a, b] mit φ ≤ f ≤ψ und  ∫_a^b (ψ−φ)(x)dx ≤ ε. Dann sind auch φ+ und ψ+ Treppenfunktionen mit φ+≤ f+≤ ψ+ und  ∫^b_a (ψ+ − φ+)(x)dx ≤  ∫^b_a (ψ−φ)(x)dx ≤ ε.Also ist f+ integrierbar. Ich verstehe nicht ganz, weshalb der fett markierte Term nicht größer dem Term danach sein kann. Fällt dafür jemandem eine Erklärung ein?

Liebe Grüße

Answer 1

Der Positivteil von ψ(x)  bzw φ(x)  ist ja gleich der Funktion oder aber

gleich 0, wenn die Funktionswerte negativ  sind.

Wenn du nun ψ(x) −φ(x) betrachtest , dann gibt es für jedes x

quasi 4 Fälle

1.  ψ(x)>0  und  φ(x)>0   dann ist ψ(x) −φ(x) gleich der Differenz der

Positivteile.

2.  ψ(x)>0  und φ(x)<0   dann wird bei  ψ(x) −φ(x)  ja etwas negatives

subtrahiert also etwas positives addiert und das Ergebnis E ist also >  ψ(x).

Und bei der Differenz der Positivteil wird 0 subtrahiert, also ist das

Ergebnis gleich  ψ(x) − 0 und damit kleiner als E.

3. ψ(x)<0  und φ(x)<0  dann erhält man bei der Differenz der Positivteile jedenfalls 0. Bei ψ(x) −φ(x) muss man jetzt beachten, dass ja

ψ(x) ≥  φ(x) angenommen war, also ist die Differenz ψ(x) −φ(x) ≥ 0.

4. ψ(x)<0  und φ(x)>0  fällt aus wegen ψ(x) ≥  φ(x)

Also ist in allen Fällen ( musst vielleicht noch ein paar mit ... = 0 ergänzen)

die Differenz der Positivteile nie größer als die Differenz der

ursprünglichen Funktionswerte und damit gilt wegen der

Monotonie des Integrals die Ungleichung.

Comments

Wieder was dazu gelernt, vielen Dank mathef! :)

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eine Sache ist mir doch noch eingefallen (nur um nochmal sicher zu gehen). Du hattest geschrieben "4. ψ(x)<0  und φ(x)>0  fällt aus wegen ψ(x) ≥  φ(x)". Wenn in der Bedingung also φ+≤ f+≤ ψ+ steht (oder φ≤ f≤ ψ) dann bezieht sich diese Ungleichung auf jeden Funktionswert, den die einzelnen Funktionen annehmen, richtig?

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So sehe ich es auch.

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super, danke vielmals nochmal :)