Sei f : [a, b] → R monoton und beschränkt. Dann ist f auf [a, b] integrierbar

Question

Beweise die folgende Aussage: Sei f : [a, b] → R monoton und beschränkt. Dann ist f auf [a, b] integrierbar

Könnte mir hier jemand weiterhelfen? :)

Answer 1

Zerlege $$ [a,b] $$ in Teilintervalle

$$I_k:=[t_{k-1},t_k]$$
mit $$ t_k:=a+k(b-a)/n$$
$$a=t_0<t_1<t_2< \dots<t_n=b$$
Es gilt $$supf(I_k)=f(t_k), \: inff(I_k)=f(t_{k-1})$$
$$O(f)-U(f)=(b-a)/n\sum_{k=1}^n(f(t_k)-f(t_{l-1}))=\frac{(b-a)}{2}(f(b)-f(a)) \rightarrow 0,\: für \: n  \rightarrow \infty$$

LG