Bestimmen Sie die Gleichung einer dieser Tangenten an f und den Blickwinkel der Kamera Richtung Meeresgrund.

Question

Aufgabe:

Im Hochpunkt H von f soll fur Unterwasserbeobachtungen eine Kamera angebracht werden. Man möchte wissen, wie groß der Blickwinkel der Kamera in Richtung Meeresgrund ist. Hierzu muss man zwei Tangenten durch den Punkt H an den Schiffsrumpf f legen. Bestimmen Sie die Gleichung einer dieser Tangenten an f und den Blickwinkel der Kamera Richtung Meeresgrund.

f ist f(x) = 0,2x⁴ - 1,8x²
Hochpunkt H (0|0)

Answer 1

Wenn der Berührpunkt der Tangente (etwa der mit positivem x-Wert) die

Koordinaten ( x ; f(x) ) , dann bildet dieser Punkt mit (0;0) ein Steigungsdreieck

mit der Steigung ( f(x) - 0 ) / ( x-0) =   f(x) / x

und diese müsste (wegen Tangente) gleich f ' (x) sein.

Also f(x) / x  = f '(x) =  0,8x^3 - 3,6x

<=>  (0,2x^4- 1,8x^2)  / x  =  0,8x^3 - 3,6x

<=>  0,2x^3- 1,8x =  0,8x^3 - 3,6x

<=>   x = 0 oder x = ±√3

Also für x>0 dann x = √3  unf f(√3)=-18/5 und f ' (√3)=-6√3 / 5

und Gleichung der Tangente ist y= -6√3 / 5 * x

siehe ~plot~ 0.2*x^4- 1.8*x^2 ; -2,078*x ~plot~

Die Kamera ist gegenüber der Horizontalen um ca. 64,3° nach unten

geneigt.  arctan( -6√3 / 5 ).

Answer 2

So sieht das aus:

v=0,2u⁴-1,8u²  Steigung an der Stelle u einerseits 0,8u³-3,6u und andererseits v/u. Dann ist u=√3.