Infimum und Supremum von sin(x)+cos(x) Df(0,2pi)

Question

Moin

Ich soll für die Funktion f(x)=sin x+ cos x mit dem Df (0,2pi) das Infimum und das Supremum ausrechnen.

Problem: Nachdem ich den Grenzwert bestimmt habe kommt heraus lim x->0 f(x)=1 und lim x-> 2pi f(x)=1

Darf das Infimum gleich dem Supremum sein? Oder brauche ich den grenzwert für die Schranke nicht zu bestimmen?

Gibt es kein Supremum oder Infimum, falls doch, gibt es das Supremum oder das Infimum?

Comments

Hi Konni,

ich hätte jetzt untersucht welche Werte die Funktion im Df(0,2pi) maximal oder minimal annehmen kann.

d.h. lokale Extrema ausrechnen und diese zum Schluss mit den Randwerten vergleichen.. Die Randwerte hast du ja schon ausgerechnet..

grüße

Answer 1

Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke der Menge und das Infimum einer Menge ist die größte untere Schranke.

Die Menge ist hier die Menge der möglichen Ergebnisse von f ( x ) = sin x + cos x, also der Bildbereich von f. Dieser Bereich ist beschränkt durch das Maximum und das Minimum von f.

Um diese Extremstellen zu bestimmen, setzt man die Ableitung von f gleich Null und löst nach x auf:

f ' ( x ) = cos x - sin x = 0

<=> cos x = sin ( x )

<=> 1 = sin ( x ) / cos ( x ) = tan ( x )

<=> x = arctan ( 1 )

Im Intervall [ 0 , 2 π ] ergibt sich daraus:

x₁ = π / 4 , x₂ = 5 π / 4

f ' ' ( π / 4 ) = - sin ( π / 4 ) - cos ( π / 4 ) < 0
=> bei x = π / 4 liegt ein Maximum von f ( x ) vor. Dort gilt:

f ( π / 4 ) = sin ( π / 4 ) + cos ( π / 4 ) = √ 2

f ' ' ( 5 π / 4 ) = - sin ( 5 π / 4 ) - cos ( 5 π / 4 ) > 0
=> bei x = 5 π / 4 liegt ein Minimum von f ( x ) vor. Dort gilt:

f ( 5 π / 4 ) = sin ( 5 π / 4 ) + cos ( 5 π / 4 ) = - √ 2

Also: Die Bildmenge von f ( x ) = sin x + cos x ist [ - √ 2 , √ 2 ].

Beide Grenzen gehören zur Bildmenge, also ist das Infimum gleich dem Minimum und das Supremum gleich dem Maximum der Bildmenge. Somit gilt:

Infimum ( sin x + cos x ) = - √ 2

Supremum ( sin x + cos x ) = √ 2 

Answer 2

Hi!

Mache dir erst nochmal klar, wie eigentlich Infimum und Supremum definiert sind.
Supremum: kleinste obere Schranke

Infimum: größte untere Schranke


Du sollst also bei dieser Aufgabe nichts anderes machen als Beschränkungen zu finden, in denen der Wert f(x) liegen kann. Insbesondere kannst du dir hier zunächst komplett die Grenzwertbetrachtungen sparen. Die führen dich nicht weiter!


Du musst vielmehr so an die Aufgabe herangehen:

Frage dich, wie groß/klein sin(x)+cos(x) maximal werden kann. Hierfür kannst du dir zunächst am Einheitskreis leicht überlegen, wann das der Fall ist. Du wirst dann schnell festellen, dass sin(x)+cos(x) maximal wird für x=π/4 bzw. x=π/4+360 und minimal wird für 3/4*π. Die zugehörige F(X)-Werte, auf die es hier ja eigentlich ankommt, sind dann +-√2. Du musst natürlich zeigen, dass dies wirklich die größten bzw. kleinsten Werte von f(x) sind. (Tipp: Mit Schulwissen: Extremstelle einer Funktion -> Ableitung=0).


Du hast dann gezeigt, dass deine Werte auf jeden Fall Schranken sind. Zu zeigen bleibt, dass sie auch kleinste obere bzw. größte untere Schranke sind. Dies folgt jedoch direkt daraus, dass sin(x) und cos(x) stetig sind.


Allgemein musst du bei solchen Aufgaben immer eine Vermutung aufstellen, welche Werte Supremum und Infimum sind und dann zwei Dinge zeigen:

1. Deine Werte sind tatsächlich Schranken.

2. Es sind auch die kleinsten/größten Schranken, also keine andere Schranke ist größer/kleiner.


Liebe Grüße
Matze

Comments

Dementsprechend hat also das Infimum bzw. das Supremum wenig mit den Schranken des Definitionsbereich zu tun zu tun, außer ich habe eine monoton steigende funktion, wo die obere Schranke automatisch mein größter wert ist?

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Ja, kann man schon so sagen.
Wobei auch bei vielen Funktionen Infimum und Supremum an den Schranken des Definitionsbereichs angenommen werde.