Aufgabe:
Prüfe, ob das uneigentliche Integral existiert
Problem/Ansatz:
Hallo Leute. Ich habe hier eine Aufgabe zu uneigentlichen Integralen, die mir erst einmal leicht vorkam, mir dann aber doch Kopfzerbrechen bereitet hat. Und zwar geht es um das Integral ∫∞1 xs wobei s ∈ ℝ \ {-1}. Die Lösung lautet folgendermaßen:
Sofern das Integral existiert, konvergiert lim r → ∞ ∫r1 xs ⇔ lim r → ∞ (1/(s+1))·rs+1 - (1/(s+1)) ⇔ lim r → ∞ (rs+1/(s+1)) - (1/(s+1)). Damit der Grenzwert existiert, muss s+1<0 gelten. Sei s+1=z. Durch Einsetzen erhalten wir lim r → ∞ (rz/z) - (1/(s+1))⇔ lim r → ∞ ((1/rz)/z) - (1/(s+1))⇔ lim r → ∞ (1/rz)·(1/z) -(1/(s+1)) = 0 - (1/(s+1)) = - (1/(s+1)).
Was ich jetzt nicht verstehe, ist folgendes: Wieso sollte der fett markierte Term unter den gegebenen Bedingungen gegen 0 gehen? Ich habe damit zwei Probleme. Erstes Problem: Bei lim r → ∞ (1/rz) ist z ja >= 0 (Die ursprüngliche Bedingung war ja z<0. Nur betrachte ich jetzt ja nicht mehr rz sondern (1/rz)). Nur könnte ich z in diesem Fall doch von rechts gegen 0 gehen lassen und dann hätte ich r gegen unendlich und z von rechts gegen 0. Was kommt dann für rz heraus? Gibt es dafür überhaupt eine Lösung? Dann zum zweiten Problem: (1/z) betrachtet ich ja für z<0. Auch hier könnte ich doch aber wieder ein z anschauen, dass diesmal von links gegen 0 geht. In diesem Fall würde der Term doch gegen -∞ gehen. Wie aber soll dann der fett markierte Term gegen 0 gehen? Das verstehe ich einfach nicht. Ich persönlich würde meinen, dass die Anfangsbedingung z<0 nicht ausreicht, um zu dem Ergebnis von oben zu gelangen.
