Zeigen sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Question

Aufgabe:

Seien A∈R^nxn und B∈Rⁿ. Zeigen sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(1) Das Gleichungssytem Ax = b besitzt eine eindeutige Lösung x∈Rⁿ

(2) dim(Kern(A)) = 0

(3) Rang(a) = n

Problem/Ansatz:

Also ich wollte das wie folgend beweisen (1) -> (2), (2) -> (3), (3) -> (1)

bin mir aber etwas unsicher was den Beweis angeht.

Meine teil Ideen wären:

(3) -> (1)

Rang(A) = n <=> Gleichungen sind linear unabhängig <=> Gleichungssystem Ax =b besitzt eine eindeutige Lösung in x∈Rⁿ

(1) -> (2) ?

(2) -> (3)?

Answer 1

(1) -> (2) ?

(1) Das Gleichungssytem Ax = b besitzt eine eindeutige Lösung x∈R^n

Angenommen es sei dim(Kern(A)) > 0

==> Es gibt ein y∈R^n und y≠0 mit A*y=0

==>  A*(x+y)= A*x + A*y = b + 0 = b

Also wären sowohl x als auch x+y Lösungen von Ax=b

und wegen y≠0 wären beide verschieden. Widerspruch !
Also gilt : (2) dim(Kern(A)) = 0

(2) -> (3)?

(2) dim(Kern(A)) = 0 ==>  (3) Rang(A) = n

Sei f: R^n → R^n die lineare Abb. mit f(x) = A*x.

==> (Rangsatz)  rang(f) + dim Kern(f) = dim( R^n )

also hier             Rang(A) + dim Kern(f) = n

 ==>      Rang(A) + 0 = n  ==>   Rang(A) = n.

Den ersten Teil würde ich noch etwas ändern:

Rang(A) = n =>

Spalten von A bilden eine Basis von R^n .

==> b lässt sich eindeutig als Linearkombination der

Spalten von A darstellen.

Die Koeffizienten einer solchen Darstellung bilden eine

Lösung des Gleichungssystems, also hat das genau eine Lösung.