Lineares Gleichungssystem mit vorgegebener Lösungsmenge, unendlich viele Lösungen

Question

Aufgabe: Lineares Gleichungssystem mit vorgegebener Lösungsmenge, unendlich vielen Lösungen

Problem/Ansatz:

ich habe gerade erst das Gauß-Verfahren kennen gelernt und soll nun einmal ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen angeben, das folgende Lösungsmenge hat:

L = {(3t; 2t; t) | t ∈ ℝ}

und eines mit

L = {(5; t; t+1)| t ∈ ℝ}

Dabei sollen alle Koeffizienten von null verscheiden sein.

Wie gehe ich hierbei am besten vor?

Answer 1

Damit (3t; 2t; t) immer eine Lösung ist, muss ja etwa gelten

x=3z und y=2z also

x-3z = 0 und y -2z = 0 und damit das z frei wählbar ist

wäre die 3. Gleichung einfach nur ox+0y+0z=0.

Also wäre die Stufenform der Matrix

1   0   -3   0
0   1   -2   0
0   0    0   0

und jetzt kannst du ja das Gauss-Verfahren quasi

rückwärts anwenden, damit die 0-Koeffizienten verschwinden,

etwa 1. Zeile + 2. Zeile in die 3. setzen

1  0  -3  0
0  1  -2  0
1  1  -5  0

dann vielleicht 2. Zeile + 3.Zeile

1  0  -3  0
1  2  -7  0
1  1  -5  0

und dann noch 1. Zeile + dritte

2  1  -8  0
1  2  -7  0
1  1  -5  0

Bei der zweiten könnte man beginnen mit

1  0   0   5
0  1   -1  -1
0  0    0  0

und dann umformen.

Answer 2

Hallo

ein Weg ist mit der letzten Zeile anzufangen,  Nullen die du hast entfernt du später mit Gauss rückwärts

also bei a, letzte Zeile nur Nullen, damit hast du z bzw. x3=t

dann vorletzte Zeile da steht jetzt 0+ay+t=0 oder ay=-t, y=-t/a =2t also a=-1/2

jetzt  erste Zeile nach dem selben Rezept. bx +2t+t=0 und x soll 3t sein. daraus b

jetzt hast du die 3 Zeilen  du kannst noch jede so multiplizieren, dass sie ganzzahlen wird

Gruß lul

Answer 3

Ohne jeglichen Zeilenstufenhokuspokus: Wenn (3t; 2t; t) eine Lösung sein soll, gilt auf alle Fälle

x+y+z=6t.

Nehmen wir noch x=3z und y=2z dazu, bekommen wir exakt die gewünschte Lösungsmenge.