Direkter Beweis durchführen

Question

Aufgabe:

Seien a,b∈R(positive reelle Zahlen)

dann gilt:

√ab ≤ a+b/2

Wie führe ich den direkten Beweis hierfür schrittweise durch ?

Answer 1

Aloha :)

Der Beweis folgt direkt daraus, dass eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist und aus der 2-ten binomischen Formel:$$0\le(\,\sqrt a-\sqrt b\,)^2=(\sqrt a)^2-2\sqrt a\,\sqrt b+(\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b$$Jetzt brauchst du nur noch \(2\sqrt{ab}\) auf die andere Seite zu bringen und durch \(2\) zu dividieren:$$2\sqrt{ab}\le a+b$$$$\sqrt{ab}\le\frac{ a+b}{2}$$

Comments

Ganz am Anfang haben Sie die linke Seite durch Minus nach rechts gebracht und den Nenner gleichnamig gemacht dann mal zwei richtig  ?

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Oder haben Sie einfach zuerst mal Zwei auf linke Seite dann Minus dem ganzen linken Paket und daraus 2.Bino ?

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In der ersten Zeile habe ich nur die binomische Formel ausgerechnet und erhalte dann die Ungleichung:$$0\le a-2\sqrt{ab}+b$$Dann habe ich auf beiden Seiten \(2\sqrt{ab}\) addiert:$$2\sqrt{ab}\le a+b$$Und zum Abschluss beide Seiten durch 2 geteilt:$$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$$

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Nein, das alles hab ich begriffen, ich meine nur, wie Sie auf das 2.Binom gekommen sind bzw. die Ausgangsform in ihrer ersten Rechnung (√a - √b)^2 ?

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Achso, eine Quadratzahl kann nie negativ sein, deswegen gilt:$$0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2$$Rechts steht ja eine Quadratzahl. Wenn das Vorzeichen der Differenz negativ ist, sorgt das Quadrat dafür, dass etwas Negatives mit etwas Negativem multipliziert wird, sodass das Ergebnis wieder positiv ist.

Answer 2

Ich denke, dass Du die Klammer vergessen hast.

Comments

Nein, die Aufgabe hab ich bloß übernommen und hier reingeschrieben.

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Diese Antwort sollte wohl besser nur ein Kommentar sein.

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Ist auch egal, denn

wenn Du es mit Klamner zeigst, dann ist es natürlich auch ohne Klammer richtig.

Für a= b folgt

Wurzel(a*a) =a = (a+a)/2

Sei b=a+d d>0

So folgt aus

a^2 + ad < a^2 + ad + (d/2)^2

Indem wir die Wurzel ziehen

Wurzel ( a*b) = Wurzel ( a^2 +ad) <

Wurzel (a^2 + ad + (d/2)^2)=

a+d/2= (2a +d)/2= (a+b)/2 <a+b/2

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Nein, die Aufgabe hab ich bloß übernommen und hier reingeschrieben.

Und genau darin liegen unsere Zweifel. Bitte räume diese Zweifel aus.

Handelt es sich um

a) \(\sqrt{a}\cdot b ≤ a+\frac{b}{2}\)

b) \(\sqrt{a}\cdot b ≤ \frac{a+b}{2}\)

c) \(\sqrt{ab} ≤ a+\frac{b}{2}\)
d) \(\sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2}\)   ?

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Es handelt sich um d

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Es handelt sich um d

Also hast du ZWEI Klammern vergessen.

Es handelt sich nicht um

√ab ≤ a+b/2, sondern um √(ab) ≤ (a+b)/2.

Da a und b beide nichtnegativ sind, ist das äquivalent zu

ab ≤ (a+b)²/4

4ab ≤ (a+b)²

4ab ≤ a²+2ab+b²

0≤ a²-2ab+b²

0≤ (a-b)²

Die Frage aller Fragen ist: Gilt das immer????

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@abakus

Ich war schneller, doch dein Beweis ist schöner.