Gleichungssysteme mit 3 Unbekannte: Berechne a.b und c

Question

Aufgabe: Berechne a. b und c:

T(v) = av²               + bv       +    c

5,2   =    2500a      +   50b   +   c         I

4,8  =     4900a      +   70b   +   c         II

7,2  =  14400a      +  120b    +   c         III

Problem/Ansatz:

Habe es mit der Eliminationsmethode berechnet:

II- I   - 0,4 = 2400a + 20b
  III-I        2 = 11900a + 70b

Ich wollte dann die erste Gleichung nach b auflösen und dann b in die zweite Gleichung einsetzen um a zu erhalten.


In den Lösungen sollte für a = 0,000971429; b = - 0,136571429; c = 9,6 herauskommen, aber egal, wie ich es versuche, ich komme einfach nicht auf diese Ergebnisse.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank im Voraus !!

Comments

Ich wollte dann die erste Gleichung nach b auflösen

Na, dann mache es doch:

-0,02 -120a = b

und dann b in die zweite Gleichung einsetzen

2 = 11900a + 70(-0,02 -120a )

Das ergibt

2 = 11900a -1,4  - 8400a

3,4 = 3500 a

a=3,4/3500 ≈0,00097

Wo war hier dein Problem?

Answer 1

Ich vertausche mal die Spalten

C         10b       100a    T

1             5              25      5,2

1              7             49       4,8

1            12           144       7,2

1            5               25       5,2  Z 1

0             2              24       -0,4 Z2 - Z1

0             5               95        2,4 Z3 - Z2

1            5            25       5,2  Z1

0            1            12      -0,2 Z2/2

0            0            35       3, 4 Z3- 5*Z2/2

1          5           0   2,771  Z1 -_25*Z3/35

0           1          0  -1,366 Z2 - 12* Z3/ 35

0           0           1   0.0971 Z3/35

1            0              0     9,601 Z1 - 5*Z2

0            1              0    -1,366

0            0              1    0,0971

C = 9,601

10 b = -1,366   b = - 0,1366

100a = 0,0971 a= 0,000971

Ich bin aber nicht sicher, ob es nicht ausreichend wäre zu sagen, dass

3,4 / 35 = 0,10 dann würde das Weiterrechnen wesentlich leichter fallen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ich verstehe das immer noch nicht?!

Muss ich nicht zuerst eine Variable ausrechnen und dann anschließend in die andere Gleichung einsetzen, um die weiteren Variablen zu berechnen? Zumindest habe ich das so im Unterricht verstanden? Dadurch sollen die angegebenen Gleichungssysteme mittels verschiedener Verfahren gelöst werden.

Bitte, wenn möglich, um nochmalige Erklärung.

Nochmals danke !

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Ich habe mal die Schritte in meiner Lösung dazu geschieben.

Ich rechne gerne mit Matrize, weil ich da weniger schreiben muss.

Statt

2x + 4 y - 56 z = 124

schreibe ich

  2   4   - 56  124

Wenn ich eine Gleichung habe, dann darf ich auch alle sie  mit einer Zahl multiplizieren. Dazu multpliziere ich alle Glieder mit einer Zahl.

Ich multipliziere sie mit 0,5

 1   2   - 28   62

Wenn ich zwei Gleichungen habe, dann darf ich sie auch addieren und das Ergebnis bleibt gleich.

Das mache ich zuerst von oben nach unten um eine Stufenform zu bekommen und dann von unten nach oben um möglichst eine Einheitsmatrix zu bekommen.

1   0   0   0          4

0   1    0  0          5

0   0    1   0          8

0   0    0   1         7

Hier steht also x1 = 4, x2 =5, x3=8, x4=7

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Ja, danke - jetzt verstehe ich es.

Vielen Dank nochmal!

Answer 2

Es gibt verschiedene Möglichkeiten das
Gleichungssystem zu berechnen

5,2  =    2500a     +  50b +  c  
4,8  =    4900a     +  70b +  c | abziehen
-------------------------------------
0.4 = -2400a - 20b
schonmal umgestellt
2400a + 20b = -0.4

4,8  =    4900a     +  70b     + c
7,2  =  14400a     +  120b   +  c | abziehen
----------------------------------------
-2.4 = -9500a - 50b
schonmal umgestellt
9500a + 50b = 2.4

2400a + 20b = -0.4
9500a + 50b = 2.4

Vorschlag zur Lösung
Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

In diesem Fall einfacher b verwenden

2400a + 20b = -0.4 | * 50
9500a + 50b = 2.4  | * 20

120000a + 1000b = -20
190000a + 1000b = 48 | abziiehen
---------------------------
-70000 * a = -68
a:= 0.0009741

Einsetzen in
-2.4 = -9500a - 50b ergibt b.
und eine der Ausgangsgleichungen für c berechnen.

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Vielen Dank für die ausführliche Beantwortung meiner Frage! Diese hilft mir wirklich sehr :)

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Gern geschehen.