Hi,
es gilt
$$ (1) \quad \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{(4k+1)^3} = \sum_{k=-\infty}^{-1} \frac{1}{(4k+1)^3} + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(4k+1)^3} = \sum_{k=0}^\infty \frac{ (-1)^k }{ (2k+1)^3 } = \frac{\pi^3}{32}$$
$$ (2) \quad \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(4k+1)^3} + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(4k-1)^3} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} = \frac{7}{8} \zeta(3) - \frac{28}{27} $$
$$ (3) \quad \sum_{k=-\infty}^{-1} \frac{1}{(4k+1)^3} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(4k-1)^3} $$
Die rechte Seite vonn (1) ist die Direchletsche Betafunktion s. https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichletsche_Betafunktion
Die rechte Seite von (2) hast Du ja schon selber abgeleitet.
Aus (2) ergibt sich
$$(4) \quad \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(4k-1)^3} = \frac{7}{8} \zeta(3) - \frac{1}{27} - \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(4k+1)^3} $$
und aus (1) und (3) ergibt sich
$$ (5) \quad \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(4k-1)^3} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(4k+1)^3} - \frac{1}{27} - \frac{\pi^3}{32} $$
und aus (4) und (5)
$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(4k+1)^3} = \frac{7}{16} \zeta(3) + \frac{\pi^3}{64} $$ und daraus ergibt sich auch
$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(4k-1)^3} = \frac{7}{16} \zeta(3) - \frac{\pi^3}{64} - 1 $$
