Schnittpunkte zweier Funktionen an folgender Aufgabe:

Question

Aufgabe: leider ist mein Problem gerade das ich einfach nicht genau rausbekomme wie die Schnittpunkte sind ,da ich damit eine Integralrechnung zwischen zwei Funktionen machen muss.

F(x) = -x^4+5x^2

G(x)= x^2

Problem/Ansatz:

Bin mir nicht sicher ob ich X^2 ausklammern darf

Answer 1

Aloha :)

Am einfachsten setzt du die beiden Funktionen gleich und löst die entstehende Gleichung nach \(x\) auf:

$$\left.-x^4+5x^2\stackrel{!}{=}x^2\quad\right|\quad-x^2$$$$\left.-x^4+4x^2\stackrel{!}{=}0\quad\right|\quad (-x^2)\text{ ausklammern}$$$$\left.-x^2(x^2-4)\stackrel{!}{=}0\quad\right|\quad \text{ 3-te binomische Formel anwenden.}$$$$\left.-x^2(x-2)(x+2)=0\quad\right|\quad \text{Nullstellen ablesen}$$$$x=0\quad;\quad x=2\quad;\quad x=-2$$Die Schnittpunkte sind also: \((0;0)\;;\;(-2;4)\;;\;(2;4)\)

~plot~ -x^4+5x^2 ; x^2 ; {-2|4} ; {2|4} ; {0|0} ; [[-3|3|-3|10]] ~plot~

Answer 2

Die Schnittstellen unter Berücksichtigung ihrer Vielfachheiten lauten $$-2,\:0,\:0,\:+2.$$ Sicher kann man \(x^2\) ausklammern, ich würde es mit \(-x^2\) versuchen. Beim Integrieren solltest du die Symmetrie der Situation ausnutzen, das erspart unnötige Rechnereien.