Question

Sind diese Mengen Untervektorräume?

$$ U_1 = \{ (x_1, x_2)^{T} \in \mathbb{R}^2: x_1+x_2=0 \} $$

$$ U_2 = \{ (x_1, x_2)^{T} \in \mathbb{R}^2: x_1^2+x_2^2=0 \} $$

$$ U_3 = \{ (x_1, x_2)^{T} \in \mathbb{R}^2: x_1^2-x_2^2=0 \} $$

Ich habe die Aufgabe gelöst und es stellte sich heraus, dass die oben genannten Mengen alle Untervektorräume sind bis auf die Menge U2, da die Inverse zum Quadrat immer positiv ist und ich wollte nachfragen, ob es stimmt.

Comments

U_1 und U_2 sind Unterräume, U_3 ist kein Unterraum.

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Stimmt, {0} ist der kleinstmögliche Unterraum, also muss U2 auch ein Unterraum sein. Ich schau mal nochmal wegen U3 nach.

Answer 1

Bei U3 kannst du leicht ein Gegenbeispiel für die

Abgeschlossenheit gegenüber + finden:

(1;1) und ( -1;1 ) sind in U3 aber

deren Summe ( 2;0) nicht.

Comments

Danke dir für die Antwort. Ich hätte da noch eine kleine Frage. Wie finde ich solche Gegenbeispiele ohne viel probieren zu müssen. Es ist z.B. klar, dass der Nullvektor ein Element der Menge ist. Man kann auch einfach zeigen, dass ein Vektor aus der Menge multipliziert mit einer reellen Zahl in der Menge bleibt, aber mich würde interessieren, wie man schnellstmöglich ein Gegenbeispiel findet, sodass eine der Eigenschaften nicht eingehalten wird.

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Ganz vage fällt mir dazu nur ein:

Wenn das was mit Quadraten ist, dann klappt es

oft mit der Addition nicht so recht .

Außerdem kann man oft brauchen:

Lösungsmengen von homogenen linearen

Gleichungen oder Gl.-systemen sind

Unterräume, wenn es nicht homogen ist,

dann nicht. Da kann man es leicht mit der

Multiplikation mit einer reellen Zahl widerlegen.