Ableitung mit Tangens (x-tan(x))

Question

Gesucht ist Ableitung von (x-tan(x)). Die Lösung ist -tan^2(x).

Leider kann ich diese Lösung nicht nachvollziehen - meine Lösung war 1 - (1/cos^2(x))

Answer 1

Aloha :)

Das geht mit der Quotientenregel recht gut:$$\left(x-\tan x\right)'=\left(x\right)'-\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=1-\frac{\cos x\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}$$$$=1-\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2}=1-\frac{\cos^2x}{\cos^2x}-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1-1-\tan^2x=-\tan^2x$$Im übrigen ist deine Lösung auch richtig:$$1-\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x-1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x-(\sin^2x+\cos^2x)}{\cos^2x}=-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=-\tan^2x$$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :)

Answer 2

1 -1/cos^2(x) = (cos^2(x)-1)/cos^2(x) =  (1-sin^2(x)-1)/cos^2(x) = -sin^2(x)/cos^2(x) = ((-sin(x)/cos(x))^2 = - tan^2(x)

Comments

Geht es nicht rückwärts einfacher?

- tan^2 x = - sin^2 x / cos^2 x=

( cos^2- 1)/cos^2 x= 1 - 1/ cos^2x

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Gefragt war, wie die alternative Lösung zustande kommt.

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War genau, was ich wollte. Mein Problem lag tatsächlich darin, dass mir

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

nicht bewusst war.