Zur Taylorreihe: n-te Ableitung von f(x) = ln( x + 2) , Konvergenzradius usw.

Question

Taylorreihe

Aufgabe:

a) Bilden Sie die n-te Ableitung von f(x) = ln( x + 2)

b) Bestimmen Sie Tf,3(x) mit dem Entwicklungspunkt von x₀ = −1 ohne ∑

c) Bilden Sie die Taylorreihe

d) Bestimmen Sie den Konvergenzradius und geben Sie in Intervallschreibweise an für welche x die Funktion konvergiert.

Problem/Ansatz:

Wie würdet ihr diese Aufgabe lösen ?

ich danke im voraus

Comments

Mehr als Copy Paste wahr wohl nicht drin.

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sorry bei ln fehlt das x

Answer 1

f(x) = ln( x + 2) wohl so ???

Dann ist f ' (x) = 1/(x+2)

f ' ' (x) = -1/(x+2)^2

f ' ' ' (x) = 2 / (x+2)^3

also n-te Ableitung wohl f⁽ⁿ⁾= (-1)^(n+1) * (n-1)! / (x+2)^^n

bei xo=-1 entwickelt

T_f,3(x)  = f(-1) + f'(-1)*(x+1) + f ' ' (-1) / 2  *(x+1)^2 + f ' ' ' (-1) / 6  *(x+1)^3 

  = 0 +1 * (x+1)  - 1/2 * (x+1)^2 +1/3 * (x+1)^3

sieht so aus :~plot~ 0 +1 * (x+1) - 1/2 * (x+1)^2 +1/3 * (x+1)^3;ln(x+2) ~plot~

Taylor:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}*x^n$$

Comments

ich danke dir für die Hilfe :)

Answer 2

1).f(x) =ln(x)

  \( f^{1} \) (x) = \( x^{-1} \)

   \( f^{2} \) (x) = -1* \( x^{-2} \)

   \( f^{3} \) (x) = 1*2*  \( x^{-3} \)

\( f^{n} \) (x) =   \(( -1)^{n-1} \) *(n-1)! *  \( x^{-n} \)