Für welche Werte der Parameter a und b das LGS keine, genau ein oder unendlich viele Lösungen?

Question

Problem/Ansatz: Wie wurde man das lösen?

Aufgabe: Untersuchen Sie, für welche Werte der Parameter a und b das LGS keine, genau ein oder unendlich viele Lösungen hat. Geben Sie die Lösungsmenge an.



A)
x+3a y =b
2x+6y=10

B)
x+3y−2z=1    
2x+5y−z=1
3x+ay+3z=a

Problem/Ansatz: Wie wurde man das lösen?

Answer 1

Nutze das Gauss- / Additionsverfahren

x + 3·a·y = b
2·x + 6·y = 10

II - 2*I

y·(6 - 6·a) = 10 - 2·b → y = (10 - 2·b)/(6 - 6·a) = (b - 5)/(3·a - 3)

x + 3·a·y = b --> x = b - 3·a·y = b - 3·a·(10 - 2·b)/(6 - 6·a) = (5·a - b)/(a - 1)

Wenn der Nenner ungleich Null ist gibt es auf jedenfall eine Lösung.

Wenn Zähler und Nenner gleich 0 sind ist das ein Freiheitsgrad und es gibt unendlich viele Lösungen.

Wenn der Nenner Null und der Zähler ungleich Null ist gibt es keine Lösung.

Du hast also 3 Fälle

a ≠ 1

Lösung: x = (5·a - b)/(a - 1) ; y = (b - 5)/(3·a - 3)

a = 1 ; b = 5

Lösung: y ist ein freiheitsgrad ; x = b - 3·a·y = 5 - 3·y

a = 1 ; b ≠ 5

keine Lösung

Comments

x + 3·y - 2·z = 1
2·x + 5·y - z = 1
3·x + a·y + 3·z = a

II - 2*I ; III - 3*I

- y + 3·z = -1
y·(a - 9) + 9·z = a - 3

II - 3*I

y·(a - 6) = a → y = a / (a - 6)

Für a = 6 keine Lösung

Für a ≠ 6 gibt es eine Lösung

y = a/(a - 6)

- a / (a - 6) + 3·z = -1 --> z = 2/(a - 6)

x + 3·(a/(a - 6) ) - 2·(2/(a - 6)) = 1 --> x = (2·a + 2)/(6 - a)