Zeige, dass Bild(B) = Bild(BA) .

Question

Seien $$B \in \mathbb{R}^{k \times m}$$ und $$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$. Zudem nehme an, dass $$Bild(A) = \mathbb{R}^m$$.

Zeige, dass $$Bild(B) = Bild(BA)$$.

Also ich weiß, warum die Mengen dieselben sind, jedoch weiß ich nicht, wie ich das mathematisch eindeutig zeigen soll.

Daher wollte ich euch hier fragen.

Answer 1

Sei y ∈ Bild(BA) ==>  Es gibt x ∈ Rⁿ mit (BA)*x = y

   ==>    B * (Ax) = y

==> Es gibt z ∈ R^m (nämlich z=A*x)  mit B*z=y

==>  y ∈ Bild(B)

umgekehrt: Sei    y ∈ Bild(B)

==>  Es gibt z ∈ R^m   mit B*z=y

Wegen Bild(A)=R^m ist also z ∈ Bild(A)

==> Es gibt   x ∈ Rⁿ mit  A*x = z

eingesetzt in # also B*(A*x) =y

==>   (BA)*x = y .

Also gibt es x ∈ Rⁿ mit (BA)*x = y

==>   y ∈ Bild(BA).   q.e.d.

Comments

Hey mathef, danke für deine Antwort. Meine Argumentation ist dieselbe wie deine. Würde das jedoch reichen für einen rigorosen mathematischen Beweis?

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Das ist doch die klassische Methode:

Gleichheit zweier Mengen X = Y zeigt man

oft so: Sei a∈X ==> ... ==>  a∈Y

Dann hat man schon mal X⊆Y gezeigt.

Und dann umgekehrt.

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Oh, dann ist es ja perfekt. Ich weiß nie, wann ein Beweis ausführlich genug ist.