Zeige: Für welche λ∈ℝ gilt dim (Bild f)=2?

Question

Aufgabe: sei A=

λ	3	-1
3	6	-2
-1	-3	λ

und die lineare Abbildung f: ℝ³—>ℝ³, x↦Ax

Zeige: Für welche λ∈ℝ gilt dim (Bild f)=2?
Problem/Ansatz:

Wir wissen, für λ=1 gilt die Aussage. Nur wie kann man das allgemein bzw. für alle Lösungen sagen?

Wir freuen uns um eine Antwort, vielen dank!

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Abbildung \(f\) nicht in den \(\mathbb R^3\) abbildet, geht Information über wenigstens eine Dimension verloren, daher ist die Abbildung dann nicht umkehrbar. Du kannst also prüfen, für welche \(\lambda\) die Determinante von \(A\) verschwindet:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}\lambda & 3 & -1\\3 & 6 & -2\\-1 & -3 & \lambda\end{array}\right|=6\lambda^2-15\lambda+9=3(\lambda-1)(2\lambda-3)$$

Für \(\lambda=1\) oder \(\lambda=\frac32\) bildet die Matrix in den \(\mathbb R^2\) ab.

Answer 2

Die Determinante der Matrix ist 0 für λ=1 und für λ=11,5.

Für alle anderen Werte ist also dim (Bild f)=3.

Für λ=1 ist es

1    3    -1
3    6   -2
-1  -3    1

Die ersten beiden Spalten sind lin. unabhängig

und die zweite ist das -3 fache der dritten.

Also dim(Bild)=2.

Für λ=1,5 ist es
1,5     3    -1
3       6    -2
-1     -3     1,5
Die 2. Spalte ist das Doppelte der ersten

und die zweite und dritte sind linear

unabhängig.  Also auch hier dim(Bild)=2.