Eigenschaften einer Basis

Question

Aufgabe:

Sei B=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)] die Standardbasis des\( R^{3} \).

Kann man folgende Menge durch Hinzunahme eines Vektors aus B zu einer Basis des \( R^{3} \) ergänzen? Begründe deine Antwort.

a) C1: = [(4,8,0) , (1,-1,2)]

b) C2: = [(1,0,2), (-2,0,-4)]

Problem/Ansatz:

Könnte jemand mir helfen und sagen ob ich richtig liege mit meiner Antwort :

a) Nein ,denn die Menge C1 lässt sich mit B erzänzen und ist danach immer noch linear unabhängig.

d.h C1 ist keine maximale menge von linear unabhängige deshalb auch keine Basis.

b) genau so...

Answer 1

a) geht

b) geht nicht, da -2* (1;0;2) = (-2;0;-4)

Comments

ohhhh habs jetzt verstanden a)  kann man ergänzen da es linear unabhängig ist

und b) geht nicht da es linear abhängig ist.

vielen Dank :)

Answer 2

a) Wähle z.B. (1,0,0) und füge ihn zu C1 hinzu. Damit hier also "Ja".

b) Offensichtlich sind die Vektoren linear abhängig, also bräuchte es mindestens 2 weitere Vektoren für eine geordnete Basis des R³. Damit hier also "Nein".

Edit (Nachtrag) zur Argumentation unter b): ...unter Annahme, dass einer der beiden Vektoren aus C2 nicht in die Basis mit aufgenommen wird (ansonsten weiterhin lineare Abhängigkeit gegeben).

Comments

Deine Antwort zu b. ist fehlerhaft.

---

vielen lieben dank für die ausführliche Erklärung.

---

@Gast hj2166

Schon verändert. Danke.