Die eckige Klammer, ist hier genauso zu behandeln wie eine runde Klammer.
In der Klammer steht 1, also die Wahrscheinlichkeit, dass Irgendetwas passiert. Dann wurde zur Eins Null addiert,
(1) = (1+0)
nun nimmt man ein q,
0 ≤ q ≤ 1
q ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintrifft.
q - q = 0
(1) = ( 1 + 0)= (1 + q -q ) = ( q + (1 -q ))
Nun steht in der Klammer, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintrifft q und die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintrifft (1-q)
Nun betrachte ich
\( 1^{n} \)
Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas n mal eintrifft.
Wir setzen dafür aber
\( ( q + (1-q)^{n} \)
Wenn wir das nun umformen bekommen wir die Summe.
Dazu ist es sinnvoll zu wissen, was n über k ist.
\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) = \( \frac{n!}{k!*(n-k)!} \)
mit z.B. 4!= 1*2*3*4
Es gilt 0! = 1
Eine beliebte Aufgabe besteht darin, dies auch durch vollständige Induktion zu zeigen.
Darauf möchte ich aber hier verzichten.
Dazu aber noch ein kleiner Hinweis
\( a^{0} \) = 1 auch \( 0^{0} \) =1
Zu zeigen ist dann,
\( \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} \) = \( \frac{n!}{0!*(n)!} \) = 1
und
\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} n +1 \\ k \end{pmatrix} \)
